Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101635 / 97269
↖ ↑ ↗
← S 65.354241°
E 99.148865°		 ← 127.36 m → S 65.354241°
E 99.151612°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
S 65.355387°
E 99.148865°		 ← 127.36 m →
16 220 m²		 S 65.355387°
E 99.151612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775417327880859 y=0.742107391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775417327880859 × 217)
    floor (0.775417327880859 × 131072)
    floor (101635.5)     		tx = 101635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742107391357422 × 217)
    floor (0.742107391357422 × 131072)
    floor (97269.5)     		ty = 97269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101635 / 97269 ti = "17/101635/97269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101635/97269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101635 ÷ 217
    101635 ÷ 131072     		x = 0.775413513183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97269 ÷ 217
    97269 ÷ 131072     		y = 0.742103576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775413513183594 × 2 - 1) × π
    0.550827026367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.73047414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742103576660156 × 2 - 1) × π
    -0.484207153320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.52118163564324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73047414} λ = 1.73047414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52118163564324))-π/2
    2×atan(0.218453601820503)-π/2
    2×0.215074819447009-π/2
    0.430149638894019-1.57079632675     		φ = -1.14064669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73047414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.148865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14064669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.354241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101635 KachelY 97269 1.73047414 -1.14064669 99.148865 -65.354241
    Oben rechts KachelX + 1 101636 KachelY 97269 1.73052208 -1.14064669 99.151612 -65.354241
    Unten links KachelX 101635 KachelY + 1 97270 1.73047414 -1.14066668 99.148865 -65.355387
    Unten rechts KachelX + 1 101636 KachelY + 1 97270 1.73052208 -1.14066668 99.151612 -65.355387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14064669--1.14066668) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dl = 127.356289999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14064669--1.14066668) × R
    1.99899999999698e-05 × 6371000     		dr = 127.356289999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73047414-1.73052208) × cos(-1.14064669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.417006812483043 × 6371000     		do = 127.364614287591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73047414-1.73052208) × cos(-1.14066668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.416988643421554 × 6371000     		du = 127.359064988541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14064669)-sin(-1.14066668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417006812483043-0.416988643421554)×R²
    abs(1.73052208-1.73047414)×1.81690614888819e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81690614888819e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81690614888819e-05×40589641000000     		ar = 16220.3313844044m²