Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101633 / 97550
↖ ↑ ↗
← S 65.674119°
E 99.143372°		 ← 125.79 m → S 65.674119°
E 99.146118°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
S 65.675250°
E 99.143372°		 ← 125.78 m →
15 819 m²		 S 65.675250°
E 99.146118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775402069091797 y=0.744251251220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775402069091797 × 217)
    floor (0.775402069091797 × 131072)
    floor (101633.5)     		tx = 101633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744251251220703 × 217)
    floor (0.744251251220703 × 131072)
    floor (97550.5)     		ty = 97550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101633 / 97550 ti = "17/101633/97550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101633/97550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101633 ÷ 217
    101633 ÷ 131072     		x = 0.775398254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97550 ÷ 217
    97550 ÷ 131072     		y = 0.744247436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775398254394531 × 2 - 1) × π
    0.550796508789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.73037827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744247436523438 × 2 - 1) × π
    -0.488494873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53465190443648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73037827} λ = 1.73037827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53465190443648))-π/2
    2×atan(0.215530703394928)-π/2
    2×0.212283360170314-π/2
    0.424566720340628-1.57079632675     		φ = -1.14622961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73037827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.143372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14622961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.674119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101633 KachelY 97550 1.73037827 -1.14622961 99.143372 -65.674119
    Oben rechts KachelX + 1 101634 KachelY 97550 1.73042620 -1.14622961 99.146118 -65.674119
    Unten links KachelX 101633 KachelY + 1 97551 1.73037827 -1.14624935 99.143372 -65.675250
    Unten rechts KachelX + 1 101634 KachelY + 1 97551 1.73042620 -1.14624935 99.146118 -65.675250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14622961--1.14624935) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dl = 125.763539999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14622961--1.14624935) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dr = 125.763539999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73037827-1.73042620) × cos(-1.14622961) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.411926005270205 × 6371000     		do = 125.786561178595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73037827-1.73042620) × cos(-1.14624935) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.411908017760464 × 6371000     		du = 125.781068476106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14622961)-sin(-1.14624935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411926005270205-0.411908017760464)×R²
    abs(1.73042620-1.73037827)×1.79875097401361e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.79875097401361e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.79875097401361e-05×40589641000000     		ar = 15819.0178278357m²