Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101633 / 97267
↖ ↑ ↗
← S 65.351951°
E 99.143372°		 ← 127.35 m → S 65.351951°
E 99.146118°		 →
↑
127.36 m
↓
↑
127.36 m
↓
S 65.353096°
E 99.143372°		 ← 127.34 m →
16 218 m²		 S 65.353096°
E 99.146118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775402069091797 y=0.742092132568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775402069091797 × 217)
    floor (0.775402069091797 × 131072)
    floor (101633.5)     		tx = 101633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742092132568359 × 217)
    floor (0.742092132568359 × 131072)
    floor (97267.5)     		ty = 97267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101633 / 97267 ti = "17/101633/97267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101633/97267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101633 ÷ 217
    101633 ÷ 131072     		x = 0.775398254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97267 ÷ 217
    97267 ÷ 131072     		y = 0.742088317871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775398254394531 × 2 - 1) × π
    0.550796508789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.73037827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742088317871094 × 2 - 1) × π
    -0.484176635742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.521085761844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73037827} λ = 1.73037827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.521085761844))-π/2
    2×atan(0.218474546801289)-π/2
    2×0.215094810331797-π/2
    0.430189620663593-1.57079632675     		φ = -1.14060671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73037827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.143372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14060671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.351951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101633 KachelY 97267 1.73037827 -1.14060671 99.143372 -65.351951
    Oben rechts KachelX + 1 101634 KachelY 97267 1.73042620 -1.14060671 99.146118 -65.351951
    Unten links KachelX 101633 KachelY + 1 97268 1.73037827 -1.14062670 99.143372 -65.353096
    Unten rechts KachelX + 1 101634 KachelY + 1 97268 1.73042620 -1.14062670 99.146118 -65.353096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14060671--1.14062670) × R
    1.99900000001918e-05 × 6371000     		dl = 127.356290001222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14060671--1.14062670) × R
    1.99900000001918e-05 × 6371000     		dr = 127.356290001222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73037827-1.73042620) × cos(-1.14060671) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.417043150106106 × 6371000     		do = 127.349142913483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73037827-1.73042620) × cos(-1.14062670) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.417024981377896 × 6371000     		du = 127.343594873754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14060671)-sin(-1.14062670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417043150106106-0.417024981377896)×R²
    abs(1.73042620-1.73037827)×1.81687282099219e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.81687282099219e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.81687282099219e-05×40589641000000     		ar = 16218.3610879544m²