Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101632 / 97551
↖ ↑ ↗
← S 65.675250°
E 99.140625°		 ← 125.81 m → S 65.675250°
E 99.143372°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
S 65.676382°
E 99.140625°		 ← 125.80 m →
15 830 m²		 S 65.676382°
E 99.143372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775394439697266 y=0.744258880615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775394439697266 × 217)
    floor (0.775394439697266 × 131072)
    floor (101632.5)     		tx = 101632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744258880615234 × 217)
    floor (0.744258880615234 × 131072)
    floor (97551.5)     		ty = 97551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101632 / 97551 ti = "17/101632/97551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101632/97551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101632 ÷ 217
    101632 ÷ 131072     		x = 0.775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97551 ÷ 217
    97551 ÷ 131072     		y = 0.744255065917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775390625 × 2 - 1) × π
    0.55078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73033033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744255065917969 × 2 - 1) × π
    -0.488510131835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.5346998413361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73033033} λ = 1.73033033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5346998413361))-π/2
    2×atan(0.215520371768869)-π/2
    2×0.212273487158087-π/2
    0.424546974316174-1.57079632675     		φ = -1.14624935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73033033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14624935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.675250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101632 KachelY 97551 1.73033033 -1.14624935 99.140625 -65.675250
    Oben rechts KachelX + 1 101633 KachelY 97551 1.73037827 -1.14624935 99.143372 -65.675250
    Unten links KachelX 101632 KachelY + 1 97552 1.73033033 -1.14626910 99.140625 -65.676382
    Unten rechts KachelX + 1 101633 KachelY + 1 97552 1.73037827 -1.14626910 99.143372 -65.676382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14624935--1.14626910) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dl = 125.827250000612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14624935--1.14626910) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dr = 125.827250000612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73033033-1.73037827) × cos(-1.14624935) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.411908017760464 × 6371000     		do = 125.807311136923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73033033-1.73037827) × cos(-1.14626910) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.411890020977881 × 6371000     		du = 125.801814456285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14624935)-sin(-1.14626910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411908017760464-0.411890020977881)×R²
    abs(1.73037827-1.73033033)×1.79967825831295e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.79967825831295e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.79967825831295e-05×40589641000000     		ar = 15829.6421748536m²