Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101632 / 97024
↖ ↑ ↗
← S 65.072130°
E 99.140625°		 ← 128.73 m → S 65.072130°
E 99.143372°		 →
↑
128.76 m
↓
↑
128.76 m
↓
S 65.073288°
E 99.140625°		 ← 128.72 m →
16 575 m²		 S 65.073288°
E 99.143372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775394439697266 y=0.740238189697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775394439697266 × 217)
    floor (0.775394439697266 × 131072)
    floor (101632.5)     		tx = 101632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740238189697266 × 217)
    floor (0.740238189697266 × 131072)
    floor (97024.5)     		ty = 97024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101632 / 97024 ti = "17/101632/97024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101632/97024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101632 ÷ 217
    101632 ÷ 131072     		x = 0.775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97024 ÷ 217
    97024 ÷ 131072     		y = 0.740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775390625 × 2 - 1) × π
    0.55078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73033033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740234375 × 2 - 1) × π
    -0.48046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50943709523633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73033033} λ = 1.73033033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50943709523633))-π/2
    2×atan(0.221034364243846)-π/2
    2×0.21753670276659-π/2
    0.435073405533179-1.57079632675     		φ = -1.13572292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73033033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13572292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.072130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101632 KachelY 97024 1.73033033 -1.13572292 99.140625 -65.072130
    Oben rechts KachelX + 1 101633 KachelY 97024 1.73037827 -1.13572292 99.143372 -65.072130
    Unten links KachelX 101632 KachelY + 1 97025 1.73033033 -1.13574313 99.140625 -65.073288
    Unten rechts KachelX + 1 101633 KachelY + 1 97025 1.73037827 -1.13574313 99.143372 -65.073288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13572292--1.13574313) × R
    2.0209999999965e-05 × 6371000     		dl = 128.757909999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13572292--1.13574313) × R
    2.0209999999965e-05 × 6371000     		dr = 128.757909999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73033033-1.73037827) × cos(-1.13572292) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.421476970654384 × 6371000     		do = 128.729915655585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73033033-1.73037827) × cos(-1.13574313) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.421458643349989 × 6371000     		du = 128.724318025078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13572292)-sin(-1.13574313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421476970654384-0.421458643349989)×R²
    abs(1.73037827-1.73033033)×1.83273043951604e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.83273043951604e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.83273043951604e-05×40589641000000     		ar = 16574.6345253037m²