Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101631 / 96521
↖ ↑ ↗
← S 64.483445°
E 99.137878°		 ← 131.57 m → S 64.483445°
E 99.140625°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
S 64.484627°
E 99.137878°		 ← 131.56 m →
17 301 m²		 S 64.484627°
E 99.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775386810302734 y=0.736400604248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775386810302734 × 217)
    floor (0.775386810302734 × 131072)
    floor (101631.5)     		tx = 101631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736400604248047 × 217)
    floor (0.736400604248047 × 131072)
    floor (96521.5)     		ty = 96521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101631 / 96521 ti = "17/101631/96521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101631/96521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101631 ÷ 217
    101631 ÷ 131072     		x = 0.775382995605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96521 ÷ 217
    96521 ÷ 131072     		y = 0.736396789550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775382995605469 × 2 - 1) × π
    0.550765991210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.73028239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736396789550781 × 2 - 1) × π
    -0.472793579101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.48532483472744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73028239} λ = 1.73028239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48532483472744))-π/2
    2×atan(0.226428776799069)-π/2
    2×0.22267395584643-π/2
    0.44534791169286-1.57079632675     		φ = -1.12544842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73028239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.137878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12544842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.483445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101631 KachelY 96521 1.73028239 -1.12544842 99.137878 -64.483445
    Oben rechts KachelX + 1 101632 KachelY 96521 1.73033033 -1.12544842 99.140625 -64.483445
    Unten links KachelX 101631 KachelY + 1 96522 1.73028239 -1.12546906 99.137878 -64.484627
    Unten rechts KachelX + 1 101632 KachelY + 1 96522 1.73033033 -1.12546906 99.140625 -64.484627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12544842--1.12546906) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12544842--1.12546906) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73028239-1.73033033) × cos(-1.12544842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.430771878627086 × 6371000     		do = 131.568819800782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73028239-1.73033033) × cos(-1.12546906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.430753251743355 × 6371000     		du = 131.563130671034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12544842)-sin(-1.12546906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430771878627086-0.430753251743355)×R²
    abs(1.73033033-1.73028239)×1.86268837312209e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86268837312209e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86268837312209e-05×40589641000000     		ar = 17300.5889352645m²