Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101630 / 98558
↖ ↑ ↗
← S 66.789745°
E 99.135132°		 ← 120.37 m → S 66.789745°
E 99.137878°		 →
↑
120.35 m
↓
↑
120.35 m
↓
S 66.790827°
E 99.135132°		 ← 120.36 m →
14 486 m²		 S 66.790827°
E 99.137878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775379180908203 y=0.751941680908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775379180908203 × 217)
    floor (0.775379180908203 × 131072)
    floor (101630.5)     		tx = 101630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751941680908203 × 217)
    floor (0.751941680908203 × 131072)
    floor (98558.5)     		ty = 98558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101630 / 98558 ti = "17/101630/98558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101630/98558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101630 ÷ 217
    101630 ÷ 131072     		x = 0.775375366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98558 ÷ 217
    98558 ÷ 131072     		y = 0.751937866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775375366210938 × 2 - 1) × π
    0.550750732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73023445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751937866210938 × 2 - 1) × π
    -0.503875732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58297229925349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73023445} λ = 1.73023445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58297229925349))-π/2
    2×atan(0.205363787523447)-π/2
    2×0.202547687811304-π/2
    0.405095375622607-1.57079632675     		φ = -1.16570095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73023445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.135132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16570095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.789745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101630 KachelY 98558 1.73023445 -1.16570095 99.135132 -66.789745
    Oben rechts KachelX + 1 101631 KachelY 98558 1.73028239 -1.16570095 99.137878 -66.789745
    Unten links KachelX 101630 KachelY + 1 98559 1.73023445 -1.16571984 99.135132 -66.790827
    Unten rechts KachelX + 1 101631 KachelY + 1 98559 1.73028239 -1.16571984 99.137878 -66.790827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16570095--1.16571984) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dl = 120.348189999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16570095--1.16571984) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dr = 120.348189999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73023445-1.73028239) × cos(-1.16570095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394106419619329 × 6371000     		do = 120.370244850905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73023445-1.73028239) × cos(-1.16571984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394089058414703 × 6371000     		du = 120.364942292135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16570095)-sin(-1.16571984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394106419619329-0.394089058414703)×R²
    abs(1.73028239-1.73023445)×1.73612046264759e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73612046264759e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73612046264759e-05×40589641000000     		ar = 14486.0220215312m²