Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101630 / 97539
↖ ↑ ↗
← S 65.661670°
E 99.135132°		 ← 125.87 m → S 65.661670°
E 99.137878°		 →
↑
125.89 m
↓
↑
125.89 m
↓
S 65.662803°
E 99.135132°		 ← 125.87 m →
15 846 m²		 S 65.662803°
E 99.137878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775379180908203 y=0.744167327880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775379180908203 × 217)
    floor (0.775379180908203 × 131072)
    floor (101630.5)     		tx = 101630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744167327880859 × 217)
    floor (0.744167327880859 × 131072)
    floor (97539.5)     		ty = 97539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101630 / 97539 ti = "17/101630/97539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101630/97539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101630 ÷ 217
    101630 ÷ 131072     		x = 0.775375366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97539 ÷ 217
    97539 ÷ 131072     		y = 0.744163513183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775375366210938 × 2 - 1) × π
    0.550750732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73023445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744163513183594 × 2 - 1) × π
    -0.488327026367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.53412459854066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73023445} λ = 1.73023445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53412459854066))-π/2
    2×atan(0.215644383975144)-π/2
    2×0.212391991772045-π/2
    0.42478398354409-1.57079632675     		φ = -1.14601234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73023445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.135132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14601234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.661670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101630 KachelY 97539 1.73023445 -1.14601234 99.135132 -65.661670
    Oben rechts KachelX + 1 101631 KachelY 97539 1.73028239 -1.14601234 99.137878 -65.661670
    Unten links KachelX 101630 KachelY + 1 97540 1.73023445 -1.14603210 99.135132 -65.662803
    Unten rechts KachelX + 1 101631 KachelY + 1 97540 1.73028239 -1.14603210 99.137878 -65.662803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14601234--1.14603210) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dl = 125.890960000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14601234--1.14603210) × R
    1.97600000000353e-05 × 6371000     		dr = 125.890960000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73023445-1.73028239) × cos(-1.14601234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412123975728481 × 6371000     		do = 125.873270258531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73023445-1.73028239) × cos(-1.14603210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412105971763122 × 6371000     		du = 125.867771384088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14601234)-sin(-1.14603210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412123975728481-0.412105971763122)×R²
    abs(1.73028239-1.73023445)×1.80039653591701e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80039653591701e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80039653591701e-05×40589641000000     		ar = 15845.9607026374m²