Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101629 / 96527
↖ ↑ ↗
← S 64.490542°
E 99.132385°		 ← 131.51 m → S 64.490542°
E 99.135132°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
S 64.491725°
E 99.132385°		 ← 131.50 m →
17 292 m²		 S 64.491725°
E 99.135132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775371551513672 y=0.736446380615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775371551513672 × 217)
    floor (0.775371551513672 × 131072)
    floor (101629.5)     		tx = 101629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736446380615234 × 217)
    floor (0.736446380615234 × 131072)
    floor (96527.5)     		ty = 96527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101629 / 96527 ti = "17/101629/96527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101629/96527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101629 ÷ 217
    101629 ÷ 131072     		x = 0.775367736816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96527 ÷ 217
    96527 ÷ 131072     		y = 0.736442565917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775367736816406 × 2 - 1) × π
    0.550735473632812 × 3.1415926535     		Λ = 1.73018652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736442565917969 × 2 - 1) × π
    -0.472885131835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.48561245612516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73018652} λ = 1.73018652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48561245612516))-π/2
    2×atan(0.226363660402685)-π/2
    2×0.222612014280381-π/2
    0.445224028560762-1.57079632675     		φ = -1.12557230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73018652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.132385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12557230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.490542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101629 KachelY 96527 1.73018652 -1.12557230 99.132385 -64.490542
    Oben rechts KachelX + 1 101630 KachelY 96527 1.73023445 -1.12557230 99.135132 -64.490542
    Unten links KachelX 101629 KachelY + 1 96528 1.73018652 -1.12559294 99.132385 -64.491725
    Unten rechts KachelX + 1 101630 KachelY + 1 96528 1.73023445 -1.12559294 99.135132 -64.491725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12557230--1.12559294) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12557230--1.12559294) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73018652-1.73023445) × cos(-1.12557230) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430660078471715 × 6371000     		do = 131.507235802163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73018652-1.73023445) × cos(-1.12559294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430641450486717 × 6371000     		du = 131.501547522849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12557230)-sin(-1.12559294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430660078471715-0.430641450486717)×R²
    abs(1.73023445-1.73018652)×1.86279849978543e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86279849978543e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86279849978543e-05×40589641000000     		ar = 17292.4908529959m²