Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101623 / 97271
↖ ↑ ↗
← S 65.356532°
E 99.115906°		 ← 127.33 m → S 65.356532°
E 99.118652°		 →
↑
127.29 m
↓
↑
127.29 m
↓
S 65.357677°
E 99.115906°		 ← 127.32 m →
16 207 m²		 S 65.357677°
E 99.118652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775325775146484 y=0.742122650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775325775146484 × 217)
    floor (0.775325775146484 × 131072)
    floor (101623.5)     		tx = 101623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742122650146484 × 217)
    floor (0.742122650146484 × 131072)
    floor (97271.5)     		ty = 97271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101623 / 97271 ti = "17/101623/97271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101623/97271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101623 ÷ 217
    101623 ÷ 131072     		x = 0.775321960449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97271 ÷ 217
    97271 ÷ 131072     		y = 0.742118835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775321960449219 × 2 - 1) × π
    0.550643920898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.72989890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742118835449219 × 2 - 1) × π
    -0.484237670898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.52127750944248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72989890} λ = 1.72989890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52127750944248))-π/2
    2×atan(0.218432658847696)-π/2
    2×0.215054830304152-π/2
    0.430109660608304-1.57079632675     		φ = -1.14068667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72989890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.115906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14068667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.356532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101623 KachelY 97271 1.72989890 -1.14068667 99.115906 -65.356532
    Oben rechts KachelX + 1 101624 KachelY 97271 1.72994683 -1.14068667 99.118652 -65.356532
    Unten links KachelX 101623 KachelY + 1 97272 1.72989890 -1.14070665 99.115906 -65.357677
    Unten rechts KachelX + 1 101624 KachelY + 1 97272 1.72994683 -1.14070665 99.118652 -65.357677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14068667--1.14070665) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dl = 127.292580000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14068667--1.14070665) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dr = 127.292580000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72989890-1.72994683) × cos(-1.14068667) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.416970474193436 × 6371000     		do = 127.326950449848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72989890-1.72994683) × cos(-1.14070665) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.416952313887981 × 6371000     		du = 127.321404982109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14068667)-sin(-1.14070665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416970474193436-0.416952313887981)×R²
    abs(1.72994683-1.72989890)×1.81603054554835e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81603054554835e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81603054554835e-05×40589641000000     		ar = 16207.4230782706m²