Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10162 / 14371
↖ ↑ ↗
← S 79.314868°
E 43.286133°		 ← 453 m → S 79.314868°
E 43.308105°		 →
↑
452.91 m
↓
↑
452.91 m
↓
S 79.318942°
E 43.286133°		 ← 452.83 m →
205 132 m²		 S 79.318942°
E 43.308105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620269775390625 y=0.877166748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620269775390625 × 214)
    floor (0.620269775390625 × 16384)
    floor (10162.5)     		tx = 10162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877166748046875 × 214)
    floor (0.877166748046875 × 16384)
    floor (14371.5)     		ty = 14371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10162 / 14371 ti = "14/10162/14371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10162/14371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10162 ÷ 214
    10162 ÷ 16384     		x = 0.6202392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14371 ÷ 214
    14371 ÷ 16384     		y = 0.87713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6202392578125 × 2 - 1) × π
    0.240478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.75548554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.7542724609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36961682201862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75548554} λ = 0.75548554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36961682201862))-π/2
    2×atan(0.0935165528975996)-π/2
    2×0.0932453629447597-π/2
    0.186490725889519-1.57079632675     		φ = -1.38430560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75548554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38430560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.314868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10162 KachelY 14371 0.75548554 -1.38430560 43.286133 -79.314868
    Oben rechts KachelX + 1 10163 KachelY 14371 0.75586903 -1.38430560 43.308105 -79.314868
    Unten links KachelX 10162 KachelY + 1 14372 0.75548554 -1.38437669 43.286133 -79.318942
    Unten rechts KachelX + 1 10163 KachelY + 1 14372 0.75586903 -1.38437669 43.308105 -79.318942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38430560--1.38437669) × R
    7.10900000000514e-05 × 6371000     		dl = 452.914390000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38430560--1.38437669) × R
    7.10900000000514e-05 × 6371000     		dr = 452.914390000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75548554-0.75586903) × cos(-1.38430560) × R
    0.000383490000000042 × 0.18541161800276 × 6371000     		do = 453.000407342223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75548554-0.75586903) × cos(-1.38437669) × R
    0.000383490000000042 × 0.185341760167756 × 6371000     		du = 452.829729646545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38430560)-sin(-1.38437669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18541161800276-0.185341760167756)×R²
    abs(0.75586903-0.75548554)×6.9857835003545e-05×R²
    0.000383490000000042×6.9857835003545e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.9857835003545e-05×40589641000000     		ar = 205131.752055606m²