Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101614 / 99085
↖ ↑ ↗
← S 67.353613°
E 99.091186°		 ← 117.60 m → S 67.353613°
E 99.093933°		 →
↑
117.61 m
↓
↑
117.61 m
↓
S 67.354671°
E 99.091186°		 ← 117.60 m →
13 831 m²		 S 67.354671°
E 99.093933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775257110595703 y=0.755962371826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775257110595703 × 217)
    floor (0.775257110595703 × 131072)
    floor (101614.5)     		tx = 101614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755962371826172 × 217)
    floor (0.755962371826172 × 131072)
    floor (99085.5)     		ty = 99085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101614 / 99085 ti = "17/101614/99085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101614/99085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101614 ÷ 217
    101614 ÷ 131072     		x = 0.775253295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99085 ÷ 217
    99085 ÷ 131072     		y = 0.755958557128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775253295898438 × 2 - 1) × π
    0.550506591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72946746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755958557128906 × 2 - 1) × π
    -0.511917114257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.60823504535326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72946746} λ = 1.72946746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60823504535326))-π/2
    2×atan(0.20024071816312)-π/2
    2×0.197627008903749-π/2
    0.395254017807499-1.57079632675     		φ = -1.17554231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72946746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.091186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17554231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.353613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101614 KachelY 99085 1.72946746 -1.17554231 99.091186 -67.353613
    Oben rechts KachelX + 1 101615 KachelY 99085 1.72951540 -1.17554231 99.093933 -67.353613
    Unten links KachelX 101614 KachelY + 1 99086 1.72946746 -1.17556077 99.091186 -67.354671
    Unten rechts KachelX + 1 101615 KachelY + 1 99086 1.72951540 -1.17556077 99.093933 -67.354671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17554231--1.17556077) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dl = 117.608659999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17554231--1.17556077) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dr = 117.608659999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72946746-1.72951540) × cos(-1.17554231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38504263301992 × 6371000     		do = 117.60193112158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72946746-1.72951540) × cos(-1.17556077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38502559624271 × 6371000     		du = 117.596727651294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17554231)-sin(-1.17556077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38504263301992-0.38502559624271)×R²
    abs(1.72951540-1.72946746)×1.70367772099334e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70367772099334e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70367772099334e-05×40589641000000     		ar = 13830.6995462555m²