Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101613 / 98539
↖ ↑ ↗
← S 66.769170°
E 99.088440°		 ← 120.45 m → S 66.769170°
E 99.091186°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
S 66.770253°
E 99.088440°		 ← 120.44 m →
14 510 m²		 S 66.770253°
E 99.091186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775249481201172 y=0.751796722412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775249481201172 × 217)
    floor (0.775249481201172 × 131072)
    floor (101613.5)     		tx = 101613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751796722412109 × 217)
    floor (0.751796722412109 × 131072)
    floor (98539.5)     		ty = 98539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101613 / 98539 ti = "17/101613/98539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101613/98539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101613 ÷ 217
    101613 ÷ 131072     		x = 0.775245666503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98539 ÷ 217
    98539 ÷ 131072     		y = 0.751792907714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775245666503906 × 2 - 1) × π
    0.550491333007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.72941953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751792907714844 × 2 - 1) × π
    -0.503585815429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.58206149816071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72941953} λ = 1.72941953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58206149816071))-π/2
    2×atan(0.205550918292059)-π/2
    2×0.202727239225221-π/2
    0.405454478450443-1.57079632675     		φ = -1.16534185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72941953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.088440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16534185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.769170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101613 KachelY 98539 1.72941953 -1.16534185 99.088440 -66.769170
    Oben rechts KachelX + 1 101614 KachelY 98539 1.72946746 -1.16534185 99.091186 -66.769170
    Unten links KachelX 101613 KachelY + 1 98540 1.72941953 -1.16536076 99.088440 -66.770253
    Unten rechts KachelX + 1 101614 KachelY + 1 98540 1.72946746 -1.16536076 99.091186 -66.770253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16534185--1.16536076) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16534185--1.16536076) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72941953-1.72946746) × cos(-1.16534185) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394436430375926 × 6371000     		do = 120.44590908562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72941953-1.72946746) × cos(-1.16536076) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394419053467127 × 6371000     		du = 120.440602837474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16534185)-sin(-1.16536076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394436430375926-0.394419053467127)×R²
    abs(1.72946746-1.72941953)×1.73769087987163e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73769087987163e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73769087987163e-05×40589641000000     		ar = 14510.4747328001m²