Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101613 / 97516
↖ ↑ ↗
← S 65.635623°
E 99.088440°		 ← 125.97 m → S 65.635623°
E 99.091186°		 →
↑
125.95 m
↓
↑
125.95 m
↓
S 65.636756°
E 99.088440°		 ← 125.97 m →
15 867 m²		 S 65.636756°
E 99.091186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775249481201172 y=0.743991851806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775249481201172 × 217)
    floor (0.775249481201172 × 131072)
    floor (101613.5)     		tx = 101613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743991851806641 × 217)
    floor (0.743991851806641 × 131072)
    floor (97516.5)     		ty = 97516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101613 / 97516 ti = "17/101613/97516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101613/97516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101613 ÷ 217
    101613 ÷ 131072     		x = 0.775245666503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97516 ÷ 217
    97516 ÷ 131072     		y = 0.743988037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775245666503906 × 2 - 1) × π
    0.550491333007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.72941953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.48797607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5330220498494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72941953} λ = 1.72941953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5330220498494))-π/2
    2×atan(0.215882273526782)-π/2
    2×0.212619299290843-π/2
    0.425238598581686-1.57079632675     		φ = -1.14555773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72941953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.088440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14555773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.635623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101613 KachelY 97516 1.72941953 -1.14555773 99.088440 -65.635623
    Oben rechts KachelX + 1 101614 KachelY 97516 1.72946746 -1.14555773 99.091186 -65.635623
    Unten links KachelX 101613 KachelY + 1 97517 1.72941953 -1.14557750 99.088440 -65.636756
    Unten rechts KachelX + 1 101614 KachelY + 1 97517 1.72946746 -1.14557750 99.091186 -65.636756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14555773--1.14557750) × R
    1.97699999999745e-05 × 6371000     		dl = 125.954669999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14555773--1.14557750) × R
    1.97699999999745e-05 × 6371000     		dr = 125.954669999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72941953-1.72946746) × cos(-1.14555773) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.412538140926684 × 6371000     		do = 125.973484165876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72941953-1.72946746) × cos(-1.14557750) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.412520131555768 × 6371000     		du = 125.967984787814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14555773)-sin(-1.14557750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412538140926684-0.412520131555768)×R²
    abs(1.72946746-1.72941953)×1.80093709162277e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80093709162277e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80093709162277e-05×40589641000000     		ar = 15866.6022911938m²