Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101612 / 98544
↖ ↑ ↗
← S 66.774586°
E 99.085693°		 ← 120.44 m → S 66.774586°
E 99.088440°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
S 66.775669°
E 99.085693°		 ← 120.44 m →
14 503 m²		 S 66.775669°
E 99.088440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775241851806641 y=0.751834869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775241851806641 × 217)
    floor (0.775241851806641 × 131072)
    floor (101612.5)     		tx = 101612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751834869384766 × 217)
    floor (0.751834869384766 × 131072)
    floor (98544.5)     		ty = 98544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101612 / 98544 ti = "17/101612/98544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101612/98544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101612 ÷ 217
    101612 ÷ 131072     		x = 0.775238037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98544 ÷ 217
    98544 ÷ 131072     		y = 0.7518310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775238037109375 × 2 - 1) × π
    0.55047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72937159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7518310546875 × 2 - 1) × π
    -0.503662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58230118265881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72937159} λ = 1.72937159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58230118265881))-π/2
    2×atan(0.205501656827214)-π/2
    2×0.202679974281468-π/2
    0.405359948562936-1.57079632675     		φ = -1.16543638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72937159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.085693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16543638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.774586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101612 KachelY 98544 1.72937159 -1.16543638 99.085693 -66.774586
    Oben rechts KachelX + 1 101613 KachelY 98544 1.72941953 -1.16543638 99.088440 -66.774586
    Unten links KachelX 101612 KachelY + 1 98545 1.72937159 -1.16545528 99.085693 -66.775669
    Unten rechts KachelX + 1 101613 KachelY + 1 98545 1.72941953 -1.16545528 99.088440 -66.775669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16543638--1.16545528) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dl = 120.411899999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16543638--1.16545528) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dr = 120.411899999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72937159-1.72941953) × cos(-1.16543638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394349562800809 × 6371000     		do = 120.444507037035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72937159-1.72941953) × cos(-1.16545528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394332194376704 × 6371000     		du = 120.43920227325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16543638)-sin(-1.16545528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394349562800809-0.394332194376704)×R²
    abs(1.72941953-1.72937159)×1.7368424105435e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7368424105435e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7368424105435e-05×40589641000000     		ar = 14502.6325589257m²