Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101611 / 98542
↖ ↑ ↗
← S 66.772420°
E 99.082947°		 ← 120.46 m → S 66.772420°
E 99.085693°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
S 66.773502°
E 99.082947°		 ← 120.45 m →
14 504 m²		 S 66.773502°
E 99.085693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775234222412109 y=0.751819610595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775234222412109 × 217)
    floor (0.775234222412109 × 131072)
    floor (101611.5)     		tx = 101611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751819610595703 × 217)
    floor (0.751819610595703 × 131072)
    floor (98542.5)     		ty = 98542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101611 / 98542 ti = "17/101611/98542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101611/98542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101611 ÷ 217
    101611 ÷ 131072     		x = 0.775230407714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98542 ÷ 217
    98542 ÷ 131072     		y = 0.751815795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775230407714844 × 2 - 1) × π
    0.550460815429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.72932365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751815795898438 × 2 - 1) × π
    -0.503631591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58220530885957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72932365} λ = 1.72932365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58220530885957))-π/2
    2×atan(0.205521359996298)-π/2
    2×0.20269887900973-π/2
    0.405397758019459-1.57079632675     		φ = -1.16539857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72932365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.082947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16539857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.772420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101611 KachelY 98542 1.72932365 -1.16539857 99.082947 -66.772420
    Oben rechts KachelX + 1 101612 KachelY 98542 1.72937159 -1.16539857 99.085693 -66.772420
    Unten links KachelX 101611 KachelY + 1 98543 1.72932365 -1.16541747 99.082947 -66.773502
    Unten rechts KachelX + 1 101612 KachelY + 1 98543 1.72937159 -1.16541747 99.085693 -66.773502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16539857--1.16541747) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dl = 120.411899999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16539857--1.16541747) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dr = 120.411899999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72932365-1.72937159) × cos(-1.16539857) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394384308415873 × 6371000     		do = 120.455119242227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72932365-1.72937159) × cos(-1.16541747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39436694027358 × 6371000     		du = 120.449814564515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16539857)-sin(-1.16541747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394384308415873-0.39436694027358)×R²
    abs(1.72937159-1.72932365)×1.73681422934724e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73681422934724e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73681422934724e-05×40589641000000     		ar = 14503.9103999407m²