Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101611 / 97515
↖ ↑ ↗
← S 65.634490°
E 99.082947°		 ← 126.01 m → S 65.634490°
E 99.085693°		 →
↑
126.02 m
↓
↑
126.02 m
↓
S 65.635623°
E 99.082947°		 ← 126 m →
15 879 m²		 S 65.635623°
E 99.085693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775234222412109 y=0.743984222412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775234222412109 × 217)
    floor (0.775234222412109 × 131072)
    floor (101611.5)     		tx = 101611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743984222412109 × 217)
    floor (0.743984222412109 × 131072)
    floor (97515.5)     		ty = 97515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101611 / 97515 ti = "17/101611/97515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101611/97515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101611 ÷ 217
    101611 ÷ 131072     		x = 0.775230407714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97515 ÷ 217
    97515 ÷ 131072     		y = 0.743980407714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775230407714844 × 2 - 1) × π
    0.550460815429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.72932365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743980407714844 × 2 - 1) × π
    -0.487960815429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.53297411294978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72932365} λ = 1.72932365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53297411294978))-π/2
    2×atan(0.215892622501705)-π/2
    2×0.212629187406501-π/2
    0.425258374813001-1.57079632675     		φ = -1.14553795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72932365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.082947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14553795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.634490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101611 KachelY 97515 1.72932365 -1.14553795 99.082947 -65.634490
    Oben rechts KachelX + 1 101612 KachelY 97515 1.72937159 -1.14553795 99.085693 -65.634490
    Unten links KachelX 101611 KachelY + 1 97516 1.72932365 -1.14555773 99.082947 -65.635623
    Unten rechts KachelX + 1 101612 KachelY + 1 97516 1.72937159 -1.14555773 99.085693 -65.635623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14553795--1.14555773) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dl = 126.018379999451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14553795--1.14555773) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dr = 126.018379999451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72932365-1.72937159) × cos(-1.14553795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412556159245681 × 6371000     		do = 126.005270229087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72932365-1.72937159) × cos(-1.14555773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412538140926684 × 6371000     		du = 125.999766970674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14553795)-sin(-1.14555773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412556159245681-0.412538140926684)×R²
    abs(1.72937159-1.72932365)×1.80183189961158e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80183189961158e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80183189961158e-05×40589641000000     		ar = 15878.6332703479m²