Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101610 / 99058
↖ ↑ ↗
← S 67.325042°
E 99.080200°		 ← 117.72 m → S 67.325042°
E 99.082947°		 →
↑
117.74 m
↓
↑
117.74 m
↓
S 67.326101°
E 99.080200°		 ← 117.71 m →
13 859 m²		 S 67.326101°
E 99.082947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775226593017578 y=0.755756378173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775226593017578 × 217)
    floor (0.775226593017578 × 131072)
    floor (101610.5)     		tx = 101610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755756378173828 × 217)
    floor (0.755756378173828 × 131072)
    floor (99058.5)     		ty = 99058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101610 / 99058 ti = "17/101610/99058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101610/99058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101610 ÷ 217
    101610 ÷ 131072     		x = 0.775222778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99058 ÷ 217
    99058 ÷ 131072     		y = 0.755752563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775222778320312 × 2 - 1) × π
    0.550445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72927572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755752563476562 × 2 - 1) × π
    -0.511505126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60694074906352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72927572} λ = 1.72927572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60694074906352))-π/2
    2×atan(0.200500056775992)-π/2
    2×0.197876337402043-π/2
    0.395752674804086-1.57079632675     		φ = -1.17504365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72927572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.080200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17504365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.325042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101610 KachelY 99058 1.72927572 -1.17504365 99.080200 -67.325042
    Oben rechts KachelX + 1 101611 KachelY 99058 1.72932365 -1.17504365 99.082947 -67.325042
    Unten links KachelX 101610 KachelY + 1 99059 1.72927572 -1.17506213 99.080200 -67.326101
    Unten rechts KachelX + 1 101611 KachelY + 1 99059 1.72932365 -1.17506213 99.082947 -67.326101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17504365--1.17506213) × R
    1.84799999998209e-05 × 6371000     		dl = 117.736079998859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17504365--1.17506213) × R
    1.84799999998209e-05 × 6371000     		dr = 117.736079998859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72927572-1.72932365) × cos(-1.17504365) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385502797837199 × 6371000     		do = 117.717916918319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72927572-1.72932365) × cos(-1.17506213) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385485746152172 × 6371000     		du = 117.712709981164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17504365)-sin(-1.17506213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385502797837199-0.385485746152172)×R²
    abs(1.72932365-1.72927572)×1.70516850269697e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70516850269697e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70516850269697e-05×40589641000000     		ar = 13859.3395617956m²