Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101610 / 98538
↖ ↑ ↗
← S 66.768086°
E 99.080200°		 ← 120.45 m → S 66.768086°
E 99.082947°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
S 66.769170°
E 99.080200°		 ← 120.45 m →
14 511 m²		 S 66.769170°
E 99.082947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775226593017578 y=0.751789093017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775226593017578 × 217)
    floor (0.775226593017578 × 131072)
    floor (101610.5)     		tx = 101610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751789093017578 × 217)
    floor (0.751789093017578 × 131072)
    floor (98538.5)     		ty = 98538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101610 / 98538 ti = "17/101610/98538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101610/98538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101610 ÷ 217
    101610 ÷ 131072     		x = 0.775222778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98538 ÷ 217
    98538 ÷ 131072     		y = 0.751785278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775222778320312 × 2 - 1) × π
    0.550445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72927572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751785278320312 × 2 - 1) × π
    -0.503570556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58201356126109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72927572} λ = 1.72927572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58201356126109))-π/2
    2×atan(0.205560772001972)-π/2
    2×0.202736693463272-π/2
    0.405473386926543-1.57079632675     		φ = -1.16532294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72927572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.080200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16532294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.768086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101610 KachelY 98538 1.72927572 -1.16532294 99.080200 -66.768086
    Oben rechts KachelX + 1 101611 KachelY 98538 1.72932365 -1.16532294 99.082947 -66.768086
    Unten links KachelX 101610 KachelY + 1 98539 1.72927572 -1.16534185 99.080200 -66.769170
    Unten rechts KachelX + 1 101611 KachelY + 1 98539 1.72932365 -1.16534185 99.082947 -66.769170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16532294--1.16534185) × R
    1.89099999998721e-05 × 6371000     		dl = 120.475609999185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16532294--1.16534185) × R
    1.89099999998721e-05 × 6371000     		dr = 120.475609999185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72927572-1.72932365) × cos(-1.16532294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394453807143679 × 6371000     		do = 120.451215290696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72927572-1.72932365) × cos(-1.16534185) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394436430375926 × 6371000     		du = 120.44590908562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16532294)-sin(-1.16534185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394453807143679-0.394436430375926)×R²
    abs(1.72932365-1.72927572)×1.73767677528192e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73767677528192e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73767677528192e-05×40589641000000     		ar = 14511.1140035253m²