Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101609 / 97509
↖ ↑ ↗
← S 65.627691°
E 99.077454°		 ← 126.04 m → S 65.627691°
E 99.080200°		 →
↑
126.02 m
↓
↑
126.02 m
↓
S 65.628824°
E 99.077454°		 ← 126.03 m →
15 883 m²		 S 65.628824°
E 99.080200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775218963623047 y=0.743938446044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775218963623047 × 217)
    floor (0.775218963623047 × 131072)
    floor (101609.5)     		tx = 101609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743938446044922 × 217)
    floor (0.743938446044922 × 131072)
    floor (97509.5)     		ty = 97509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101609 / 97509 ti = "17/101609/97509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101609/97509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101609 ÷ 217
    101609 ÷ 131072     		x = 0.775215148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97509 ÷ 217
    97509 ÷ 131072     		y = 0.743934631347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775215148925781 × 2 - 1) × π
    0.550430297851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.72922778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743934631347656 × 2 - 1) × π
    -0.487869262695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.53268649155206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72922778} λ = 1.72922778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53268649155206))-π/2
    2×atan(0.215954726770377)-π/2
    2×0.212688525168696-π/2
    0.425377050337392-1.57079632675     		φ = -1.14541928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72922778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.077454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14541928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.627691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101609 KachelY 97509 1.72922778 -1.14541928 99.077454 -65.627691
    Oben rechts KachelX + 1 101610 KachelY 97509 1.72927572 -1.14541928 99.080200 -65.627691
    Unten links KachelX 101609 KachelY + 1 97510 1.72922778 -1.14543906 99.077454 -65.628824
    Unten rechts KachelX + 1 101610 KachelY + 1 97510 1.72927572 -1.14543906 99.080200 -65.628824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14541928--1.14543906) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dl = 126.018379999451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14541928--1.14543906) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dr = 126.018379999451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72922778-1.72927572) × cos(-1.14541928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412664256660928 × 6371000     		do = 126.038285962131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72922778-1.72927572) × cos(-1.14543906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412646239310428 × 6371000     		du = 126.032782999522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14541928)-sin(-1.14543906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412664256660928-0.412646239310428)×R²
    abs(1.72927572-1.72922778)×1.80173505003878e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80173505003878e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80173505003878e-05×40589641000000     		ar = 15882.7938783205m²