Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101607 / 96305
↖ ↑ ↗
← S 64.226687°
E 99.071961°		 ← 132.77 m → S 64.226687°
E 99.074707°		 →
↑
132.84 m
↓
↑
132.84 m
↓
S 64.227881°
E 99.071961°		 ← 132.77 m →
17 637 m²		 S 64.227881°
E 99.074707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775203704833984 y=0.734752655029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775203704833984 × 217)
    floor (0.775203704833984 × 131072)
    floor (101607.5)     		tx = 101607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734752655029297 × 217)
    floor (0.734752655029297 × 131072)
    floor (96305.5)     		ty = 96305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101607 / 96305 ti = "17/101607/96305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101607/96305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101607 ÷ 217
    101607 ÷ 131072     		x = 0.775199890136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96305 ÷ 217
    96305 ÷ 131072     		y = 0.734748840332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775199890136719 × 2 - 1) × π
    0.550399780273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.72913191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734748840332031 × 2 - 1) × π
    -0.469497680664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.47497046440951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72913191} λ = 1.72913191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47497046440951))-π/2
    2×atan(0.228785484259806)-π/2
    2×0.224914586585828-π/2
    0.449829173171655-1.57079632675     		φ = -1.12096715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72913191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.071961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12096715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.226687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101607 KachelY 96305 1.72913191 -1.12096715 99.071961 -64.226687
    Oben rechts KachelX + 1 101608 KachelY 96305 1.72917984 -1.12096715 99.074707 -64.226687
    Unten links KachelX 101607 KachelY + 1 96306 1.72913191 -1.12098800 99.071961 -64.227881
    Unten rechts KachelX + 1 101608 KachelY + 1 96306 1.72917984 -1.12098800 99.074707 -64.227881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12096715--1.12098800) × R
    2.08500000000722e-05 × 6371000     		dl = 132.83535000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12096715--1.12098800) × R
    2.08500000000722e-05 × 6371000     		dr = 132.83535000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72913191-1.72917984) × cos(-1.12096715) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.434811710505658 × 6371000     		do = 132.774986587861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72913191-1.72917984) × cos(-1.12098800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.434792934540137 × 6371000     		du = 132.769253120915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12096715)-sin(-1.12098800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434811710505658-0.434792934540137)×R²
    abs(1.72917984-1.72913191)×1.87759655210784e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87759655210784e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87759655210784e-05×40589641000000     		ar = 17636.8310117826m²