Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101604 / 99061
↖ ↑ ↗
← S 67.328218°
E 99.063721°		 ← 117.70 m → S 67.328218°
E 99.066467°		 →
↑
117.67 m
↓
↑
117.67 m
↓
S 67.329277°
E 99.063721°		 ← 117.70 m →
13 850 m²		 S 67.329277°
E 99.066467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775180816650391 y=0.755779266357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775180816650391 × 217)
    floor (0.775180816650391 × 131072)
    floor (101604.5)     		tx = 101604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755779266357422 × 217)
    floor (0.755779266357422 × 131072)
    floor (99061.5)     		ty = 99061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101604 / 99061 ti = "17/101604/99061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101604/99061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101604 ÷ 217
    101604 ÷ 131072     		x = 0.775177001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99061 ÷ 217
    99061 ÷ 131072     		y = 0.755775451660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775177001953125 × 2 - 1) × π
    0.55035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72898810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755775451660156 × 2 - 1) × π
    -0.511550903320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.60708455976238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72898810} λ = 1.72898810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60708455976238))-π/2
    2×atan(0.200471224795929)-π/2
    2×0.197848619527858-π/2
    0.395697239055716-1.57079632675     		φ = -1.17509909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72898810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.063721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17509909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.328218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101604 KachelY 99061 1.72898810 -1.17509909 99.063721 -67.328218
    Oben rechts KachelX + 1 101605 KachelY 99061 1.72903603 -1.17509909 99.066467 -67.328218
    Unten links KachelX 101604 KachelY + 1 99062 1.72898810 -1.17511756 99.063721 -67.329277
    Unten rechts KachelX + 1 101605 KachelY + 1 99062 1.72903603 -1.17511756 99.066467 -67.329277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17509909--1.17511756) × R
    1.84699999998816e-05 × 6371000     		dl = 117.672369999246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17509909--1.17511756) × R
    1.84699999998816e-05 × 6371000     		dr = 117.672369999246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72898810-1.72903603) × cos(-1.17509909) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385451642387181 × 6371000     		do = 117.702295986256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72898810-1.72903603) × cos(-1.17511756) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.385434599534581 × 6371000     		du = 117.697091746189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17509909)-sin(-1.17511756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385451642387181-0.385434599534581)×R²
    abs(1.72903603-1.72898810)×1.70428526001798e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70428526001798e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70428526001798e-05×40589641000000     		ar = 13850.001925788m²