Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101602 / 98657
↖ ↑ ↗
← S 66.896673°
E 99.058227°		 ← 119.85 m → S 66.896673°
E 99.060974°		 →
↑
119.84 m
↓
↑
119.84 m
↓
S 66.897751°
E 99.058227°		 ← 119.84 m →
14 362 m²		 S 66.897751°
E 99.060974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775165557861328 y=0.752696990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775165557861328 × 217)
    floor (0.775165557861328 × 131072)
    floor (101602.5)     		tx = 101602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752696990966797 × 217)
    floor (0.752696990966797 × 131072)
    floor (98657.5)     		ty = 98657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101602 / 98657 ti = "17/101602/98657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101602/98657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101602 ÷ 217
    101602 ÷ 131072     		x = 0.775161743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98657 ÷ 217
    98657 ÷ 131072     		y = 0.752693176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775161743164062 × 2 - 1) × π
    0.550323486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72889222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752693176269531 × 2 - 1) × π
    -0.505386352539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.58771805231588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72889222} λ = 1.72889222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58771805231588))-π/2
    2×atan(0.204391490665153)-π/2
    2×0.201614558955626-π/2
    0.403229117911251-1.57079632675     		φ = -1.16756721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72889222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.058227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16756721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.896673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101602 KachelY 98657 1.72889222 -1.16756721 99.058227 -66.896673
    Oben rechts KachelX + 1 101603 KachelY 98657 1.72894016 -1.16756721 99.060974 -66.896673
    Unten links KachelX 101602 KachelY + 1 98658 1.72889222 -1.16758602 99.058227 -66.897751
    Unten rechts KachelX + 1 101603 KachelY + 1 98658 1.72894016 -1.16758602 99.060974 -66.897751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16756721--1.16758602) × R
    1.88099999998137e-05 × 6371000     		dl = 119.838509998813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16756721--1.16758602) × R
    1.88099999998137e-05 × 6371000     		dr = 119.838509998813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72889222-1.72894016) × cos(-1.16756721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392390520395943 × 6371000     		do = 119.846165060837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72889222-1.72894016) × cos(-1.16758602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392373218912663 × 6371000     		du = 119.840880742503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16756721)-sin(-1.16758602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392390520395943-0.392373218912663)×R²
    abs(1.72894016-1.72889222)×1.73014832796636e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73014832796636e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73014832796636e-05×40589641000000     		ar = 14361.8692179868m²