Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101602 / 97250
↖ ↑ ↗
← S 65.332471°
E 99.058227°		 ← 127.47 m → S 65.332471°
E 99.060974°		 →
↑
127.48 m
↓
↑
127.48 m
↓
S 65.333617°
E 99.058227°		 ← 127.46 m →
16 250 m²		 S 65.333617°
E 99.060974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775165557861328 y=0.741962432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775165557861328 × 217)
    floor (0.775165557861328 × 131072)
    floor (101602.5)     		tx = 101602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741962432861328 × 217)
    floor (0.741962432861328 × 131072)
    floor (97250.5)     		ty = 97250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101602 / 97250 ti = "17/101602/97250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101602/97250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101602 ÷ 217
    101602 ÷ 131072     		x = 0.775161743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97250 ÷ 217
    97250 ÷ 131072     		y = 0.741958618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775161743164062 × 2 - 1) × π
    0.550323486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72889222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741958618164062 × 2 - 1) × π
    -0.483917236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52027083455046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72889222} λ = 1.72889222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52027083455046))-π/2
    2×atan(0.218652660237314)-π/2
    2×0.215264803199855-π/2
    0.430529606399709-1.57079632675     		φ = -1.14026672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72889222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.058227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14026672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.332471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101602 KachelY 97250 1.72889222 -1.14026672 99.058227 -65.332471
    Oben rechts KachelX + 1 101603 KachelY 97250 1.72894016 -1.14026672 99.060974 -65.332471
    Unten links KachelX 101602 KachelY + 1 97251 1.72889222 -1.14028673 99.058227 -65.333617
    Unten rechts KachelX + 1 101603 KachelY + 1 97251 1.72894016 -1.14028673 99.060974 -65.333617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14026672--1.14028673) × R
    2.00099999998482e-05 × 6371000     		dl = 127.483709999033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14026672--1.14028673) × R
    2.00099999998482e-05 × 6371000     		dr = 127.483709999033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72889222-1.72894016) × cos(-1.14026672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.417352138381403 × 6371000     		do = 127.470085705639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72889222-1.72894016) × cos(-1.14028673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41733395431351 × 6371000     		du = 127.464531823246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14026672)-sin(-1.14028673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417352138381403-0.41733395431351)×R²
    abs(1.72894016-1.72889222)×1.81840678930012e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81840678930012e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81840678930012e-05×40589641000000     		ar = 16250.0054253516m²