Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101602 / 96354
↖ ↑ ↗
← S 64.285143°
E 99.058227°		 ← 132.52 m → S 64.285143°
E 99.060974°		 →
↑
132.52 m
↓
↑
132.52 m
↓
S 64.286335°
E 99.058227°		 ← 132.52 m →
17 561 m²		 S 64.286335°
E 99.060974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775165557861328 y=0.735126495361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775165557861328 × 217)
    floor (0.775165557861328 × 131072)
    floor (101602.5)     		tx = 101602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735126495361328 × 217)
    floor (0.735126495361328 × 131072)
    floor (96354.5)     		ty = 96354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101602 / 96354 ti = "17/101602/96354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101602/96354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101602 ÷ 217
    101602 ÷ 131072     		x = 0.775161743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96354 ÷ 217
    96354 ÷ 131072     		y = 0.735122680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775161743164062 × 2 - 1) × π
    0.550323486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72889222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735122680664062 × 2 - 1) × π
    -0.470245361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47731937249089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72889222} λ = 1.72889222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47731937249089))-π/2
    2×atan(0.228248718840036)-π/2
    2×0.224404460018724-π/2
    0.448808920037448-1.57079632675     		φ = -1.12198741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72889222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.058227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12198741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.285143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101602 KachelY 96354 1.72889222 -1.12198741 99.058227 -64.285143
    Oben rechts KachelX + 1 101603 KachelY 96354 1.72894016 -1.12198741 99.060974 -64.285143
    Unten links KachelX 101602 KachelY + 1 96355 1.72889222 -1.12200821 99.058227 -64.286335
    Unten rechts KachelX + 1 101603 KachelY + 1 96355 1.72894016 -1.12200821 99.060974 -64.286335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12198741--1.12200821) × R
    2.0799999999932e-05 × 6371000     		dl = 132.516799999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12198741--1.12200821) × R
    2.0799999999932e-05 × 6371000     		dr = 132.516799999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72889222-1.72894016) × cos(-1.12198741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433892718405883 × 6371000     		do = 132.522004599641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72889222-1.72894016) × cos(-1.12200821) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.433873978249517 × 6371000     		du = 132.516280873516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12198741)-sin(-1.12200821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433892718405883-0.433873978249517)×R²
    abs(1.72894016-1.72889222)×1.87401563661593e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87401563661593e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87401563661593e-05×40589641000000     		ar = 17561.012734757m²