Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101600 / 98656
↖ ↑ ↗
← S 66.895596°
E 99.052734°		 ← 119.83 m → S 66.895596°
E 99.055481°		 →
↑
119.84 m
↓
↑
119.84 m
↓
S 66.896673°
E 99.052734°		 ← 119.82 m →
14 360 m²		 S 66.896673°
E 99.055481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775150299072266 y=0.752689361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775150299072266 × 217)
    floor (0.775150299072266 × 131072)
    floor (101600.5)     		tx = 101600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752689361572266 × 217)
    floor (0.752689361572266 × 131072)
    floor (98656.5)     		ty = 98656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101600 / 98656 ti = "17/101600/98656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101600/98656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101600 ÷ 217
    101600 ÷ 131072     		x = 0.775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98656 ÷ 217
    98656 ÷ 131072     		y = 0.752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775146484375 × 2 - 1) × π
    0.55029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72879635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.50537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58767011541626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72879635} λ = 1.72879635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58767011541626))-π/2
    2×atan(0.204401288794369)-π/2
    2×0.201623964155491-π/2
    0.403247928310981-1.57079632675     		φ = -1.16754840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72879635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16754840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.895596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101600 KachelY 98656 1.72879635 -1.16754840 99.052734 -66.895596
    Oben rechts KachelX + 1 101601 KachelY 98656 1.72884428 -1.16754840 99.055481 -66.895596
    Unten links KachelX 101600 KachelY + 1 98657 1.72879635 -1.16756721 99.052734 -66.896673
    Unten rechts KachelX + 1 101601 KachelY + 1 98657 1.72884428 -1.16756721 99.055481 -66.896673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16754840--1.16756721) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dl = 119.838510000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16754840--1.16756721) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dr = 119.838510000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72879635-1.72884428) × cos(-1.16754840) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.392407821740388 × 6371000     		do = 119.826449034041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72879635-1.72884428) × cos(-1.16756721) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.392390520395943 × 6371000     		du = 119.82116586038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16754840)-sin(-1.16756721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392407821740388-0.392390520395943)×R²
    abs(1.72884428-1.72879635)×1.73013444457193e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.73013444457193e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.73013444457193e-05×40589641000000     		ar = 14359.5065474568m²