Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10160 / 14378
↖ ↑ ↗
← S 79.343349°
E 43.242188°		 ← 451.81 m → S 79.343349°
E 43.264160°		 →
↑
451.70 m
↓
↑
451.70 m
↓
S 79.347411°
E 43.242188°		 ← 451.64 m →
204 045 m²		 S 79.347411°
E 43.264160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.620147705078125 y=0.877593994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.620147705078125 × 214)
    floor (0.620147705078125 × 16384)
    floor (10160.5)     		tx = 10160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877593994140625 × 214)
    floor (0.877593994140625 × 16384)
    floor (14378.5)     		ty = 14378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10160 / 14378 ti = "14/10160/14378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10160/14378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10160 ÷ 214
    10160 ÷ 16384     		x = 0.6201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14378 ÷ 214
    14378 ÷ 16384     		y = 0.8775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6201171875 × 2 - 1) × π
    0.240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.75471855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.755126953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37230128839734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75471855} λ = 0.75471855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37230128839734))-π/2
    2×atan(0.0932658475111384)-π/2
    2×0.0929968252842218-π/2
    0.185993650568444-1.57079632675     		φ = -1.38480268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75471855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.242188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38480268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.343349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10160 KachelY 14378 0.75471855 -1.38480268 43.242188 -79.343349
    Oben rechts KachelX + 1 10161 KachelY 14378 0.75510204 -1.38480268 43.264160 -79.343349
    Unten links KachelX 10160 KachelY + 1 14379 0.75471855 -1.38487358 43.242188 -79.347411
    Unten rechts KachelX + 1 10161 KachelY + 1 14379 0.75510204 -1.38487358 43.264160 -79.347411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38480268--1.38487358) × R
    7.09000000000959e-05 × 6371000     		dl = 451.703900000611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38480268--1.38487358) × R
    7.09000000000959e-05 × 6371000     		dr = 451.703900000611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75471855-0.75510204) × cos(-1.38480268) × R
    0.000383490000000042 × 0.184923134014026 × 6371000     		do = 451.80693603627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75471855-0.75510204) × cos(-1.38487358) × R
    0.000383490000000042 × 0.184853456362481 × 6371000     		du = 451.636698567484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38480268)-sin(-1.38487358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184923134014026-0.184853456362481)×R²
    abs(0.75510204-0.75471855)×6.96776515445863e-05×R²
    0.000383490000000042×6.96776515445863e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.96776515445863e-05×40589641000000     		ar = 204044.506676294m²