Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1016 / 971
↖ ↑ ↗
← N 79.600285°
W135.351562°		 ← 882.08 m → N 79.600285°
W135.307617°		 →
↑
882.45 m
↓
↑
882.45 m
↓
N 79.592349°
W135.351562°		 ← 882.75 m →
778 684 m²		 N 79.592349°
W135.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.12408447265625 y=0.11859130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.12408447265625 × 213)
    floor (0.12408447265625 × 8192)
    floor (1016.5)     		tx = 1016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11859130859375 × 213)
    floor (0.11859130859375 × 8192)
    floor (971.5)     		ty = 971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1016 / 971 ti = "13/1016/971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1016/971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1016 ÷ 213
    1016 ÷ 8192     		x = 0.1240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 971 ÷ 213
    971 ÷ 8192     		y = 0.1185302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1240234375 × 2 - 1) × π
    -0.751953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.36233041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1185302734375 × 2 - 1) × π
    0.762939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39684498100281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36233041} λ = -2.36233041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39684498100281))-π/2
    2×atan(10.988452855246)-π/2
    2×1.48004169222204-π/2
    2.96008338444409-1.57079632675     		φ = 1.38928706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36233041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38928706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.600285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1016 KachelY 971 -2.36233041 1.38928706 -135.351562 79.600285
    Oben rechts KachelX + 1 1017 KachelY 971 -2.36156342 1.38928706 -135.307617 79.600285
    Unten links KachelX 1016 KachelY + 1 972 -2.36233041 1.38914855 -135.351562 79.592349
    Unten rechts KachelX + 1 1017 KachelY + 1 972 -2.36156342 1.38914855 -135.307617 79.592349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38928706-1.38914855) × R
    0.000138509999999981 × 6371000     		dl = 882.447209999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38928706-1.38914855) × R
    0.000138509999999981 × 6371000     		dr = 882.447209999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36233041--2.36156342) × cos(1.38928706) × R
    0.000766990000000245 × 0.180514251574522 × 6371000     		do = 882.081679068554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36233041--2.36156342) × cos(1.38914855) × R
    0.000766990000000245 × 0.180650484451326 × 6371000     		du = 882.747380106934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38928706)-sin(1.38914855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180514251574522-0.180650484451326)×R²
    abs(-2.36156342--2.36233041)×0.000136232876804032×R²
    0.000766990000000245×0.000136232876804032×6371000²
    0.000766990000000245×0.000136232876804032×40589641000000     		ar = 778684.240943208m²