Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101596 / 97236
↖ ↑ ↗
← S 65.316417°
E 99.041748°		 ← 127.55 m → S 65.316417°
E 99.044495°		 →
↑
127.55 m
↓
↑
127.55 m
↓
S 65.317565°
E 99.041748°		 ← 127.54 m →
16 268 m²		 S 65.317565°
E 99.044495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775119781494141 y=0.741855621337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775119781494141 × 217)
    floor (0.775119781494141 × 131072)
    floor (101596.5)     		tx = 101596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741855621337891 × 217)
    floor (0.741855621337891 × 131072)
    floor (97236.5)     		ty = 97236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101596 / 97236 ti = "17/101596/97236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101596/97236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101596 ÷ 217
    101596 ÷ 131072     		x = 0.775115966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97236 ÷ 217
    97236 ÷ 131072     		y = 0.741851806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775115966796875 × 2 - 1) × π
    0.55023193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72860460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.48370361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51959971795578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72860460} λ = 1.72860460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51959971795578))-π/2
    2×atan(0.218799450917392)-π/2
    2×0.215404891884712-π/2
    0.430809783769424-1.57079632675     		φ = -1.13998654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72860460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.041748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13998654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.316417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101596 KachelY 97236 1.72860460 -1.13998654 99.041748 -65.316417
    Oben rechts KachelX + 1 101597 KachelY 97236 1.72865254 -1.13998654 99.044495 -65.316417
    Unten links KachelX 101596 KachelY + 1 97237 1.72860460 -1.14000656 99.041748 -65.317565
    Unten rechts KachelX + 1 101597 KachelY + 1 97237 1.72865254 -1.14000656 99.044495 -65.317565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13998654--1.14000656) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dl = 127.54742000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13998654--1.14000656) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dr = 127.54742000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72860460-1.72865254) × cos(-1.13998654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.417606734127387 × 6371000     		do = 127.547845799757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72860460-1.72865254) × cos(-1.14000656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.417588543313638 × 6371000     		du = 127.542289857006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13998654)-sin(-1.14000656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417606734127387-0.417588543313638)×R²
    abs(1.72865254-1.72860460)×1.81908137489861e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81908137489861e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81908137489861e-05×40589641000000     		ar = 16268.0443358604m²