Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101592 / 99080
↖ ↑ ↗
← S 67.348325°
E 99.030762°		 ← 117.63 m → S 67.348325°
E 99.033508°		 →
↑
117.61 m
↓
↑
117.61 m
↓
S 67.349382°
E 99.030762°		 ← 117.62 m →
13 834 m²		 S 67.349382°
E 99.033508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775089263916016 y=0.755924224853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775089263916016 × 217)
    floor (0.775089263916016 × 131072)
    floor (101592.5)     		tx = 101592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755924224853516 × 217)
    floor (0.755924224853516 × 131072)
    floor (99080.5)     		ty = 99080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101592 / 99080 ti = "17/101592/99080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101592/99080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101592 ÷ 217
    101592 ÷ 131072     		x = 0.77508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99080 ÷ 217
    99080 ÷ 131072     		y = 0.75592041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77508544921875 × 2 - 1) × π
    0.5501708984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72841285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75592041015625 × 2 - 1) × π
    -0.5118408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60799536085516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72841285} λ = 1.72841285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60799536085516))-π/2
    2×atan(0.200288718511392)-π/2
    2×0.197673158382966-π/2
    0.395346316765932-1.57079632675     		φ = -1.17545001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72841285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.030762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17545001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.348325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101592 KachelY 99080 1.72841285 -1.17545001 99.030762 -67.348325
    Oben rechts KachelX + 1 101593 KachelY 99080 1.72846079 -1.17545001 99.033508 -67.348325
    Unten links KachelX 101592 KachelY + 1 99081 1.72841285 -1.17546847 99.030762 -67.349382
    Unten rechts KachelX + 1 101593 KachelY + 1 99081 1.72846079 -1.17546847 99.033508 -67.349382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17545001--1.17546847) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dl = 117.608659999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17545001--1.17546847) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dr = 117.608659999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72841285-1.72846079) × cos(-1.17545001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385127814937679 × 6371000     		do = 117.627947871847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72841285-1.72846079) × cos(-1.17546847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385110778816586 × 6371000     		du = 117.622744601955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17545001)-sin(-1.17546847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385127814937679-0.385110778816586)×R²
    abs(1.72846079-1.72841285)×1.7036121093883e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7036121093883e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7036121093883e-05×40589641000000     		ar = 13833.7593534155m²