Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101588 / 98007
↖ ↑ ↗
← S 66.186030°
E 99.019776°		 ← 123.30 m → S 66.186030°
E 99.022522°		 →
↑
123.34 m
↓
↑
123.34 m
↓
S 66.187139°
E 99.019776°		 ← 123.29 m →
15 207 m²		 S 66.187139°
E 99.022522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775058746337891 y=0.747737884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775058746337891 × 217)
    floor (0.775058746337891 × 131072)
    floor (101588.5)     		tx = 101588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747737884521484 × 217)
    floor (0.747737884521484 × 131072)
    floor (98007.5)     		ty = 98007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101588 / 98007 ti = "17/101588/98007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101588/98007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101588 ÷ 217
    101588 ÷ 131072     		x = 0.775054931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98007 ÷ 217
    98007 ÷ 131072     		y = 0.747734069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775054931640625 × 2 - 1) × π
    0.55010986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72822111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747734069824219 × 2 - 1) × π
    -0.495468139648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.55655906756284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72822111} λ = 1.72822111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55655906756284))-π/2
    2×atan(0.210860380659679)-π/2
    2×0.207816091933846-π/2
    0.415632183867691-1.57079632675     		φ = -1.15516414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72822111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.019776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15516414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.186030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101588 KachelY 98007 1.72822111 -1.15516414 99.019776 -66.186030
    Oben rechts KachelX + 1 101589 KachelY 98007 1.72826904 -1.15516414 99.022522 -66.186030
    Unten links KachelX 101588 KachelY + 1 98008 1.72822111 -1.15518350 99.019776 -66.187139
    Unten rechts KachelX + 1 101589 KachelY + 1 98008 1.72826904 -1.15518350 99.022522 -66.187139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15516414--1.15518350) × R
    1.93600000000238e-05 × 6371000     		dl = 123.342560000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15516414--1.15518350) × R
    1.93600000000238e-05 × 6371000     		dr = 123.342560000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72822111-1.72826904) × cos(-1.15516414) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.403768374231232 × 6371000     		do = 123.295530405124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72822111-1.72826904) × cos(-1.15518350) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.403750662441837 × 6371000     		du = 123.29012189716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15516414)-sin(-1.15518350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403768374231232-0.403750662441837)×R²
    abs(1.72826904-1.72822111)×1.77117893953027e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77117893953027e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77117893953027e-05×40589641000000     		ar = 15207.2528075037m²