Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101586 / 97221
↖ ↑ ↗
← S 65.299207°
E 99.014282°		 ← 127.63 m → S 65.299207°
E 99.017029°		 →
↑
127.61 m
↓
↑
127.61 m
↓
S 65.300355°
E 99.014282°		 ← 127.63 m →
16 287 m²		 S 65.300355°
E 99.017029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775043487548828 y=0.741741180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775043487548828 × 217)
    floor (0.775043487548828 × 131072)
    floor (101586.5)     		tx = 101586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741741180419922 × 217)
    floor (0.741741180419922 × 131072)
    floor (97221.5)     		ty = 97221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101586 / 97221 ti = "17/101586/97221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101586/97221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101586 ÷ 217
    101586 ÷ 131072     		x = 0.775039672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97221 ÷ 217
    97221 ÷ 131072     		y = 0.741737365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775039672851562 × 2 - 1) × π
    0.550079345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72812523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741737365722656 × 2 - 1) × π
    -0.483474731445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.51888066446148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72812523} λ = 1.72812523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51888066446148))-π/2
    2×atan(0.218956836004492)-π/2
    2×0.215555081730254-π/2
    0.431110163460509-1.57079632675     		φ = -1.13968616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72812523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.014282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13968616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.299207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101586 KachelY 97221 1.72812523 -1.13968616 99.014282 -65.299207
    Oben rechts KachelX + 1 101587 KachelY 97221 1.72817317 -1.13968616 99.017029 -65.299207
    Unten links KachelX 101586 KachelY + 1 97222 1.72812523 -1.13970619 99.014282 -65.300355
    Unten rechts KachelX + 1 101587 KachelY + 1 97222 1.72817317 -1.13970619 99.017029 -65.300355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13968616--1.13970619) × R
    2.00300000001707e-05 × 6371000     		dl = 127.611130001088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13968616--1.13970619) × R
    2.00300000001707e-05 × 6371000     		dr = 127.611130001088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72812523-1.72817317) × cos(-1.13968616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.417879648924499 × 6371000     		do = 127.631201003622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72812523-1.72817317) × cos(-1.13970619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.417861451537731 × 6371000     		du = 127.625643053302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13968616)-sin(-1.13970619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417879648924499-0.417861451537731)×R²
    abs(1.72817317-1.72812523)×1.8197386767782e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8197386767782e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8197386767782e-05×40589641000000     		ar = 16286.8071556751m²