Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101584 / 97215
↖ ↑ ↗
← S 65.292320°
E 99.008789°		 ← 127.64 m → S 65.292320°
E 99.011535°		 →
↑
127.61 m
↓
↑
127.61 m
↓
S 65.293468°
E 99.008789°		 ← 127.63 m →
16 288 m²		 S 65.293468°
E 99.011535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775028228759766 y=0.741695404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775028228759766 × 217)
    floor (0.775028228759766 × 131072)
    floor (101584.5)     		tx = 101584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741695404052734 × 217)
    floor (0.741695404052734 × 131072)
    floor (97215.5)     		ty = 97215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101584 / 97215 ti = "17/101584/97215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101584/97215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101584 ÷ 217
    101584 ÷ 131072     		x = 0.7750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97215 ÷ 217
    97215 ÷ 131072     		y = 0.741691589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7750244140625 × 2 - 1) × π
    0.550048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72802936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741691589355469 × 2 - 1) × π
    -0.483383178710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.51859304306376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72802936} λ = 1.72802936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51859304306376))-π/2
    2×atan(0.219019821733292)-π/2
    2×0.215615185146337-π/2
    0.431230370292673-1.57079632675     		φ = -1.13956596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72802936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13956596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.292320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101584 KachelY 97215 1.72802936 -1.13956596 99.008789 -65.292320
    Oben rechts KachelX + 1 101585 KachelY 97215 1.72807729 -1.13956596 99.011535 -65.292320
    Unten links KachelX 101584 KachelY + 1 97216 1.72802936 -1.13958599 99.008789 -65.293468
    Unten rechts KachelX + 1 101585 KachelY + 1 97216 1.72807729 -1.13958599 99.011535 -65.293468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13956596--1.13958599) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dl = 127.611129999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13956596--1.13958599) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dr = 127.611129999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72802936-1.72807729) × cos(-1.13956596) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.417988847893165 × 6371000     		do = 127.637923110096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72802936-1.72807729) × cos(-1.13958599) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.417970651512596 × 6371000     		du = 127.632366626387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13956596)-sin(-1.13958599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417988847893165-0.417970651512596)×R²
    abs(1.72807729-1.72802936)×1.81963805684915e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81963805684915e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81963805684915e-05×40589641000000     		ar = 16287.6650647576m²