Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101581 / 98012
↖ ↑ ↗
← S 66.191574°
E 99.000549°		 ← 123.27 m → S 66.191574°
E 99.003296°		 →
↑
123.28 m
↓
↑
123.28 m
↓
S 66.192683°
E 99.000549°		 ← 123.26 m →
15 196 m²		 S 66.192683°
E 99.003296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775005340576172 y=0.747776031494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775005340576172 × 217)
    floor (0.775005340576172 × 131072)
    floor (101581.5)     		tx = 101581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747776031494141 × 217)
    floor (0.747776031494141 × 131072)
    floor (98012.5)     		ty = 98012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101581 / 98012 ti = "17/101581/98012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101581/98012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101581 ÷ 217
    101581 ÷ 131072     		x = 0.775001525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98012 ÷ 217
    98012 ÷ 131072     		y = 0.747772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775001525878906 × 2 - 1) × π
    0.550003051757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.72788555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.49554443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55679875206094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72788555} λ = 1.72788555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55679875206094))-π/2
    2×atan(0.210809846751511)-π/2
    2×0.207767708729061-π/2
    0.415535417458121-1.57079632675     		φ = -1.15526091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72788555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.000549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15526091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.191574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101581 KachelY 98012 1.72788555 -1.15526091 99.000549 -66.191574
    Oben rechts KachelX + 1 101582 KachelY 98012 1.72793348 -1.15526091 99.003296 -66.191574
    Unten links KachelX 101581 KachelY + 1 98013 1.72788555 -1.15528026 99.000549 -66.192683
    Unten rechts KachelX + 1 101582 KachelY + 1 98013 1.72793348 -1.15528026 99.003296 -66.192683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15526091--1.15528026) × R
    1.93500000000846e-05 × 6371000     		dl = 123.278850000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15526091--1.15528026) × R
    1.93500000000846e-05 × 6371000     		dr = 123.278850000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72788555-1.72793348) × cos(-1.15526091) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.403679841218036 × 6371000     		do = 123.268495783921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72788555-1.72793348) × cos(-1.15528026) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.403662137821374 × 6371000     		du = 123.263089838779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15526091)-sin(-1.15528026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403679841218036-0.403662137821374)×R²
    abs(1.72793348-1.72788555)×1.77033966613505e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.77033966613505e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.77033966613505e-05×40589641000000     		ar = 15196.0651825809m²