Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101581 / 98008
↖ ↑ ↗
← S 66.187139°
E 99.000549°		 ← 123.29 m → S 66.187139°
E 99.003296°		 →
↑
123.28 m
↓
↑
123.28 m
↓
S 66.188248°
E 99.000549°		 ← 123.28 m →
15 199 m²		 S 66.188248°
E 99.003296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775005340576172 y=0.747745513916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775005340576172 × 217)
    floor (0.775005340576172 × 131072)
    floor (101581.5)     		tx = 101581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747745513916016 × 217)
    floor (0.747745513916016 × 131072)
    floor (98008.5)     		ty = 98008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101581 / 98008 ti = "17/101581/98008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101581/98008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101581 ÷ 217
    101581 ÷ 131072     		x = 0.775001525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98008 ÷ 217
    98008 ÷ 131072     		y = 0.74774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775001525878906 × 2 - 1) × π
    0.550003051757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.72788555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.4954833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55660700446246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72788555} λ = 1.72788555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55660700446246))-π/2
    2×atan(0.210850272909047)-π/2
    2×0.207806414444106-π/2
    0.415612828888211-1.57079632675     		φ = -1.15518350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72788555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.000549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15518350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.187139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101581 KachelY 98008 1.72788555 -1.15518350 99.000549 -66.187139
    Oben rechts KachelX + 1 101582 KachelY 98008 1.72793348 -1.15518350 99.003296 -66.187139
    Unten links KachelX 101581 KachelY + 1 98009 1.72788555 -1.15520285 99.000549 -66.188248
    Unten rechts KachelX + 1 101582 KachelY + 1 98009 1.72793348 -1.15520285 99.003296 -66.188248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15518350--1.15520285) × R
    1.93500000000846e-05 × 6371000     		dl = 123.278850000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15518350--1.15520285) × R
    1.93500000000846e-05 × 6371000     		dr = 123.278850000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72788555-1.72793348) × cos(-1.15518350) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.403750662441837 × 6371000     		do = 123.290121896588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72788555-1.72793348) × cos(-1.15520285) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.403732959649881 × 6371000     		du = 123.2847161361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15518350)-sin(-1.15520285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403750662441837-0.403732959649881)×R²
    abs(1.72793348-1.72788555)×1.77027919562311e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.77027919562311e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.77027919562311e-05×40589641000000     		ar = 15198.7312363459m²