Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101578 / 96276
↖ ↑ ↗
← S 64.192032°
E 98.992310°		 ← 132.94 m → S 64.192032°
E 98.995056°		 →
↑
132.96 m
↓
↑
132.96 m
↓
S 64.193228°
E 98.992310°		 ← 132.94 m →
17 676 m²		 S 64.193228°
E 98.995056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774982452392578 y=0.734531402587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774982452392578 × 217)
    floor (0.774982452392578 × 131072)
    floor (101578.5)     		tx = 101578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734531402587891 × 217)
    floor (0.734531402587891 × 131072)
    floor (96276.5)     		ty = 96276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101578 / 96276 ti = "17/101578/96276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101578/96276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101578 ÷ 217
    101578 ÷ 131072     		x = 0.774978637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96276 ÷ 217
    96276 ÷ 131072     		y = 0.734527587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774978637695312 × 2 - 1) × π
    0.549957275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72774174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734527587890625 × 2 - 1) × π
    -0.46905517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47358029432053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72774174} λ = 1.72774174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47358029432053))-π/2
    2×atan(0.229103756171607)-π/2
    2×0.225217006939463-π/2
    0.450434013878926-1.57079632675     		φ = -1.12036231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72774174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.992310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12036231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.192032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101578 KachelY 96276 1.72774174 -1.12036231 98.992310 -64.192032
    Oben rechts KachelX + 1 101579 KachelY 96276 1.72778967 -1.12036231 98.995056 -64.192032
    Unten links KachelX 101578 KachelY + 1 96277 1.72774174 -1.12038318 98.992310 -64.193228
    Unten rechts KachelX + 1 101579 KachelY + 1 96277 1.72778967 -1.12038318 98.995056 -64.193228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12036231--1.12038318) × R
    2.08699999999507e-05 × 6371000     		dl = 132.962769999686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12036231--1.12038318) × R
    2.08699999999507e-05 × 6371000     		dr = 132.962769999686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72774174-1.72778967) × cos(-1.12036231) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.435356302296944 × 6371000     		do = 132.94128424277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72774174-1.72778967) × cos(-1.12038318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.435337513812765 × 6371000     		du = 132.9355469531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12036231)-sin(-1.12038318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435356302296944-0.435337513812765)×R²
    abs(1.72778967-1.72774174)×1.87884841784669e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87884841784669e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87884841784669e-05×40589641000000     		ar = 17675.8599778433m²