Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101577 / 96277
↖ ↑ ↗
← S 64.193228°
E 98.989563°		 ← 132.96 m → S 64.193228°
E 98.992310°		 →
↑
132.96 m
↓
↑
132.96 m
↓
S 64.194423°
E 98.989563°		 ← 132.96 m →
17 679 m²		 S 64.194423°
E 98.992310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774974822998047 y=0.734539031982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774974822998047 × 217)
    floor (0.774974822998047 × 131072)
    floor (101577.5)     		tx = 101577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734539031982422 × 217)
    floor (0.734539031982422 × 131072)
    floor (96277.5)     		ty = 96277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101577 / 96277 ti = "17/101577/96277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101577/96277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101577 ÷ 217
    101577 ÷ 131072     		x = 0.774971008300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96277 ÷ 217
    96277 ÷ 131072     		y = 0.734535217285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774971008300781 × 2 - 1) × π
    0.549942016601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.72769380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734535217285156 × 2 - 1) × π
    -0.469070434570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.47362823122015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72769380} λ = 1.72769380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47362823122015))-π/2
    2×atan(0.229092773911074)-π/2
    2×0.225206572349003-π/2
    0.450413144698006-1.57079632675     		φ = -1.12038318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72769380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.989563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12038318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.193228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101577 KachelY 96277 1.72769380 -1.12038318 98.989563 -64.193228
    Oben rechts KachelX + 1 101578 KachelY 96277 1.72774174 -1.12038318 98.992310 -64.193228
    Unten links KachelX 101577 KachelY + 1 96278 1.72769380 -1.12040405 98.989563 -64.194423
    Unten rechts KachelX + 1 101578 KachelY + 1 96278 1.72774174 -1.12040405 98.992310 -64.194423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12038318--1.12040405) × R
    2.08700000001727e-05 × 6371000     		dl = 132.9627700011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12038318--1.12040405) × R
    2.08700000001727e-05 × 6371000     		dr = 132.9627700011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72769380-1.72774174) × cos(-1.12038318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435337513812765 × 6371000     		do = 132.963282305937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72769380-1.72774174) × cos(-1.12040405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435318725138972 × 6371000     		du = 132.95754376134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12038318)-sin(-1.12040405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435337513812765-0.435318725138972)×R²
    abs(1.72774174-1.72769380)×1.87886737929577e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87886737929577e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87886737929577e-05×40589641000000     		ar = 17678.7848182046m²