Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101572 / 97988
↖ ↑ ↗
← S 66.164951°
E 98.975830°		 ← 123.42 m → S 66.164951°
E 98.978577°		 →
↑
123.41 m
↓
↑
123.41 m
↓
S 66.166061°
E 98.975830°		 ← 123.42 m →
15 231 m²		 S 66.166061°
E 98.978577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774936676025391 y=0.747592926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774936676025391 × 217)
    floor (0.774936676025391 × 131072)
    floor (101572.5)     		tx = 101572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747592926025391 × 217)
    floor (0.747592926025391 × 131072)
    floor (97988.5)     		ty = 97988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101572 / 97988 ti = "17/101572/97988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101572/97988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101572 ÷ 217
    101572 ÷ 131072     		x = 0.774932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97988 ÷ 217
    97988 ÷ 131072     		y = 0.747589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774932861328125 × 2 - 1) × π
    0.54986572265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72745411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747589111328125 × 2 - 1) × π
    -0.49517822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55564826647006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72745411} λ = 1.72745411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55564826647006))-π/2
    2×atan(0.211052520011892)-π/2
    2×0.208000044896088-π/2
    0.416000089792175-1.57079632675     		φ = -1.15479624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72745411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.975830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15479624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.164951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101572 KachelY 97988 1.72745411 -1.15479624 98.975830 -66.164951
    Oben rechts KachelX + 1 101573 KachelY 97988 1.72750205 -1.15479624 98.978577 -66.164951
    Unten links KachelX 101572 KachelY + 1 97989 1.72745411 -1.15481561 98.975830 -66.166061
    Unten rechts KachelX + 1 101573 KachelY + 1 97989 1.72750205 -1.15481561 98.978577 -66.166061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15479624--1.15481561) × R
    1.9369999999963e-05 × 6371000     		dl = 123.406269999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15479624--1.15481561) × R
    1.9369999999963e-05 × 6371000     		dr = 123.406269999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72745411-1.72750205) × cos(-1.15479624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404104924351044 × 6371000     		do = 123.424045557481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72745411-1.72750205) × cos(-1.15481561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.404087206291437 × 6371000     		du = 123.418634006014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15479624)-sin(-1.15481561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404104924351044-0.404087206291437)×R²
    abs(1.72750205-1.72745411)×1.77180596063753e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77180596063753e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77180596063753e-05×40589641000000     		ar = 15230.9671813629m²