Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101570 / 96065
↖ ↑ ↗
← S 63.938579°
E 98.970337°		 ← 134.18 m → S 63.938579°
E 98.973084°		 →
↑
134.17 m
↓
↑
134.17 m
↓
S 63.939786°
E 98.970337°		 ← 134.18 m →
18 004 m²		 S 63.939786°
E 98.973084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774921417236328 y=0.732921600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774921417236328 × 217)
    floor (0.774921417236328 × 131072)
    floor (101570.5)     		tx = 101570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732921600341797 × 217)
    floor (0.732921600341797 × 131072)
    floor (96065.5)     		ty = 96065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101570 / 96065 ti = "17/101570/96065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101570/96065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101570 ÷ 217
    101570 ÷ 131072     		x = 0.774917602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96065 ÷ 217
    96065 ÷ 131072     		y = 0.732917785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774917602539062 × 2 - 1) × π
    0.549835205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72735824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732917785644531 × 2 - 1) × π
    -0.465835571289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.46346560850069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72735824} λ = 1.72735824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46346560850069))-π/2
    2×atan(0.231432827742386)-π/2
    2×0.227428800695888-π/2
    0.454857601391776-1.57079632675     		φ = -1.11593873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72735824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.970337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11593873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.938579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101570 KachelY 96065 1.72735824 -1.11593873 98.970337 -63.938579
    Oben rechts KachelX + 1 101571 KachelY 96065 1.72740618 -1.11593873 98.973084 -63.938579
    Unten links KachelX 101570 KachelY + 1 96066 1.72735824 -1.11595979 98.970337 -63.939786
    Unten rechts KachelX + 1 101571 KachelY + 1 96066 1.72740618 -1.11595979 98.973084 -63.939786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11593873--1.11595979) × R
    2.10599999999062e-05 × 6371000     		dl = 134.173259999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11593873--1.11595979) × R
    2.10599999999062e-05 × 6371000     		dr = 134.173259999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72735824-1.72740618) × cos(-1.11593873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.439334394100997 × 6371000     		do = 134.184032425661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72735824-1.72740618) × cos(-1.11595979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.439315475308557 × 6371000     		du = 134.17825413948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11593873)-sin(-1.11595979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439334394100997-0.439315475308557)×R²
    abs(1.72740618-1.72735824)×1.8918792440259e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8918792440259e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8918792440259e-05×40589641000000     		ar = 18003.521425361m²