Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101568 / 98002
↖ ↑ ↗
← S 66.180485°
E 98.964844°		 ← 123.32 m → S 66.180485°
E 98.967590°		 →
↑
123.28 m
↓
↑
123.28 m
↓
S 66.181593°
E 98.964844°		 ← 123.32 m →
15 203 m²		 S 66.181593°
E 98.967590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774906158447266 y=0.747699737548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774906158447266 × 217)
    floor (0.774906158447266 × 131072)
    floor (101568.5)     		tx = 101568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747699737548828 × 217)
    floor (0.747699737548828 × 131072)
    floor (98002.5)     		ty = 98002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101568 / 98002 ti = "17/101568/98002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101568/98002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101568 ÷ 217
    101568 ÷ 131072     		x = 0.77490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98002 ÷ 217
    98002 ÷ 131072     		y = 0.747695922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77490234375 × 2 - 1) × π
    0.5498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72726237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747695922851562 × 2 - 1) × π
    -0.495391845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55631938306474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72726237} λ = 1.72726237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55631938306474))-π/2
    2×atan(0.210910926681494)-π/2
    2×0.207864485749169-π/2
    0.415728971498339-1.57079632675     		φ = -1.15506736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72726237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15506736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.180485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101568 KachelY 98002 1.72726237 -1.15506736 98.964844 -66.180485
    Oben rechts KachelX + 1 101569 KachelY 98002 1.72731030 -1.15506736 98.967590 -66.180485
    Unten links KachelX 101568 KachelY + 1 98003 1.72726237 -1.15508671 98.964844 -66.181593
    Unten rechts KachelX + 1 101569 KachelY + 1 98003 1.72731030 -1.15508671 98.967590 -66.181593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15506736--1.15508671) × R
    1.93499999998625e-05 × 6371000     		dl = 123.278849999124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15506736--1.15508671) × R
    1.93499999998625e-05 × 6371000     		dr = 123.278849999124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72726237-1.72731030) × cos(-1.15506736) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.403856912611589 × 6371000     		do = 123.322566664683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72726237-1.72731030) × cos(-1.15508671) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.403839210727085 × 6371000     		du = 123.317161181296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15506736)-sin(-1.15508671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403856912611589-0.403839210727085)×R²
    abs(1.72731030-1.72726237)×1.77018845040067e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77018845040067e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77018845040067e-05×40589641000000     		ar = 15202.7310068267m²