Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101568 / 96064
↖ ↑ ↗
← S 63.937372°
E 98.964844°		 ← 134.16 m → S 63.937372°
E 98.967590°		 →
↑
134.24 m
↓
↑
134.24 m
↓
S 63.938579°
E 98.964844°		 ← 134.16 m →
18 009 m²		 S 63.938579°
E 98.967590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774906158447266 y=0.732913970947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774906158447266 × 217)
    floor (0.774906158447266 × 131072)
    floor (101568.5)     		tx = 101568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732913970947266 × 217)
    floor (0.732913970947266 × 131072)
    floor (96064.5)     		ty = 96064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101568 / 96064 ti = "17/101568/96064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101568/96064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101568 ÷ 217
    101568 ÷ 131072     		x = 0.77490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96064 ÷ 217
    96064 ÷ 131072     		y = 0.73291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77490234375 × 2 - 1) × π
    0.5498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72726237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73291015625 × 2 - 1) × π
    -0.4658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46341767160107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72726237} λ = 1.72726237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46341767160107))-π/2
    2×atan(0.231443922180533)-π/2
    2×0.227439331087094-π/2
    0.454878662174187-1.57079632675     		φ = -1.11591766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72726237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11591766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.937372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101568 KachelY 96064 1.72726237 -1.11591766 98.964844 -63.937372
    Oben rechts KachelX + 1 101569 KachelY 96064 1.72731030 -1.11591766 98.967590 -63.937372
    Unten links KachelX 101568 KachelY + 1 96065 1.72726237 -1.11593873 98.964844 -63.938579
    Unten rechts KachelX + 1 101569 KachelY + 1 96065 1.72731030 -1.11593873 98.967590 -63.938579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11591766--1.11593873) × R
    2.10700000000674e-05 × 6371000     		dl = 134.23697000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11591766--1.11593873) × R
    2.10700000000674e-05 × 6371000     		dr = 134.23697000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72726237-1.72731030) × cos(-1.11591766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.439353321681726 × 6371000     		do = 134.161822196057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72726237-1.72731030) × cos(-1.11593873) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.439334394100997 × 6371000     		du = 134.156042431583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11591766)-sin(-1.11593873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439353321681726-0.439334394100997)×R²
    abs(1.72731030-1.72726237)×1.89275807286893e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.89275807286893e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.89275807286893e-05×40589641000000     		ar = 18009.0885729524m²