Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101567 / 96293
↖ ↑ ↗
← S 64.212352°
E 98.962097°		 ← 132.87 m → S 64.212352°
E 98.964844°		 →
↑
132.84 m
↓
↑
132.84 m
↓
S 64.213547°
E 98.962097°		 ← 132.87 m →
17 650 m²		 S 64.213547°
E 98.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774898529052734 y=0.734661102294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774898529052734 × 217)
    floor (0.774898529052734 × 131072)
    floor (101567.5)     		tx = 101567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734661102294922 × 217)
    floor (0.734661102294922 × 131072)
    floor (96293.5)     		ty = 96293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101567 / 96293 ti = "17/101567/96293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101567/96293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101567 ÷ 217
    101567 ÷ 131072     		x = 0.774894714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96293 ÷ 217
    96293 ÷ 131072     		y = 0.734657287597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774894714355469 × 2 - 1) × π
    0.549789428710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.72721443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734657287597656 × 2 - 1) × π
    -0.469314575195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.47439522161407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72721443} λ = 1.72721443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47439522161407))-π/2
    2×atan(0.228917129321635)-π/2
    2×0.225039680133091-π/2
    0.450079360266181-1.57079632675     		φ = -1.12071697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72721443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.962097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12071697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.212352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101567 KachelY 96293 1.72721443 -1.12071697 98.962097 -64.212352
    Oben rechts KachelX + 1 101568 KachelY 96293 1.72726237 -1.12071697 98.964844 -64.212352
    Unten links KachelX 101567 KachelY + 1 96294 1.72721443 -1.12073782 98.962097 -64.213547
    Unten rechts KachelX + 1 101568 KachelY + 1 96294 1.72726237 -1.12073782 98.964844 -64.213547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12071697--1.12073782) × R
    2.08500000000722e-05 × 6371000     		dl = 132.83535000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12071697--1.12073782) × R
    2.08500000000722e-05 × 6371000     		dr = 132.83535000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72721443-1.72726237) × cos(-1.12071697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435036989337574 × 6371000     		do = 132.871494395714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72721443-1.72726237) × cos(-1.12073782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435018215640679 × 6371000     		du = 132.865760425447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12071697)-sin(-1.12073782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435036989337574-0.435018215640679)×R²
    abs(1.72726237-1.72721443)×1.87736968945695e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87736968945695e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87736968945695e-05×40589641000000     		ar = 17649.650626746m²