Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101565 / 96329
↖ ↑ ↗
← S 64.255334°
E 98.956604°		 ← 132.64 m → S 64.255334°
E 98.959350°		 →
↑
132.64 m
↓
↑
132.64 m
↓
S 64.256527°
E 98.956604°		 ← 132.63 m →
17 593 m²		 S 64.256527°
E 98.959350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774883270263672 y=0.734935760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774883270263672 × 217)
    floor (0.774883270263672 × 131072)
    floor (101565.5)     		tx = 101565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734935760498047 × 217)
    floor (0.734935760498047 × 131072)
    floor (96329.5)     		ty = 96329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101565 / 96329 ti = "17/101565/96329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101565/96329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101565 ÷ 217
    101565 ÷ 131072     		x = 0.774879455566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96329 ÷ 217
    96329 ÷ 131072     		y = 0.734931945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774879455566406 × 2 - 1) × π
    0.549758911132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.72711856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734931945800781 × 2 - 1) × π
    -0.469863891601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.47612095000039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72711856} λ = 1.72711856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47612095000039))-π/2
    2×atan(0.228522421210903)-π/2
    2×0.224664593817513-π/2
    0.449329187635026-1.57079632675     		φ = -1.12146714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72711856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.956604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12146714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.255334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101565 KachelY 96329 1.72711856 -1.12146714 98.956604 -64.255334
    Oben rechts KachelX + 1 101566 KachelY 96329 1.72716649 -1.12146714 98.959350 -64.255334
    Unten links KachelX 101565 KachelY + 1 96330 1.72711856 -1.12148796 98.956604 -64.256527
    Unten rechts KachelX + 1 101566 KachelY + 1 96330 1.72716649 -1.12148796 98.959350 -64.256527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12146714--1.12148796) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dl = 132.644220000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12146714--1.12148796) × R
    2.08200000000325e-05 × 6371000     		dr = 132.644220000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72711856-1.72716649) × cos(-1.12146714) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.434361404484632 × 6371000     		do = 132.63748022716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72711856-1.72716649) × cos(-1.12148796) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.434342651011167 × 6371000     		du = 132.631753628433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12146714)-sin(-1.12148796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434361404484632-0.434342651011167)×R²
    abs(1.72716649-1.72711856)×1.87534734655825e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87534734655825e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87534734655825e-05×40589641000000     		ar = 17593.2153081993m²