Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101559 / 96343
↖ ↑ ↗
← S 64.272031°
E 98.940125°		 ← 132.56 m → S 64.272031°
E 98.942871°		 →
↑
132.58 m
↓
↑
132.58 m
↓
S 64.273223°
E 98.940125°		 ← 132.55 m →
17 574 m²		 S 64.273223°
E 98.942871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774837493896484 y=0.735042572021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774837493896484 × 217)
    floor (0.774837493896484 × 131072)
    floor (101559.5)     		tx = 101559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735042572021484 × 217)
    floor (0.735042572021484 × 131072)
    floor (96343.5)     		ty = 96343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101559 / 96343 ti = "17/101559/96343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101559/96343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101559 ÷ 217
    101559 ÷ 131072     		x = 0.774833679199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96343 ÷ 217
    96343 ÷ 131072     		y = 0.735038757324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774833679199219 × 2 - 1) × π
    0.549667358398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.72683094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735038757324219 × 2 - 1) × π
    -0.470077514648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.47679206659507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72683094} λ = 1.72683094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47679206659507))-π/2
    2×atan(0.228369107473222)-π/2
    2×0.224518884291194-π/2
    0.449037768582387-1.57079632675     		φ = -1.12175856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72683094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.940125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12175856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.272031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101559 KachelY 96343 1.72683094 -1.12175856 98.940125 -64.272031
    Oben rechts KachelX + 1 101560 KachelY 96343 1.72687887 -1.12175856 98.942871 -64.272031
    Unten links KachelX 101559 KachelY + 1 96344 1.72683094 -1.12177937 98.940125 -64.273223
    Unten rechts KachelX + 1 101560 KachelY + 1 96344 1.72687887 -1.12177937 98.942871 -64.273223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12175856--1.12177937) × R
    2.08100000000933e-05 × 6371000     		dl = 132.580510000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12175856--1.12177937) × R
    2.08100000000933e-05 × 6371000     		dr = 132.580510000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72683094-1.72687887) × cos(-1.12175856) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.434098892777913 × 6371000     		do = 132.557319119497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72683094-1.72687887) × cos(-1.12177937) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.434080145678614 × 6371000     		du = 132.551594467198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12175856)-sin(-1.12177937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434098892777913-0.434080145678614)×R²
    abs(1.72687887-1.72683094)×1.87470992987215e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87470992987215e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87470992987215e-05×40589641000000     		ar = 17574.1374853245m²