Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101557 / 99077
↖ ↑ ↗
← S 67.345151°
E 98.934631°		 ← 117.64 m → S 67.345151°
E 98.937378°		 →
↑
117.61 m
↓
↑
117.61 m
↓
S 67.346209°
E 98.934631°		 ← 117.64 m →
13 836 m²		 S 67.346209°
E 98.937378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774822235107422 y=0.755901336669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774822235107422 × 217)
    floor (0.774822235107422 × 131072)
    floor (101557.5)     		tx = 101557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755901336669922 × 217)
    floor (0.755901336669922 × 131072)
    floor (99077.5)     		ty = 99077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101557 / 99077 ti = "17/101557/99077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101557/99077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101557 ÷ 217
    101557 ÷ 131072     		x = 0.774818420410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99077 ÷ 217
    99077 ÷ 131072     		y = 0.755897521972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774818420410156 × 2 - 1) × π
    0.549636840820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.72673506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755897521972656 × 2 - 1) × π
    -0.511795043945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.6078515501563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72673506} λ = 1.72673506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6078515501563))-π/2
    2×atan(0.200317524243212)-π/2
    2×0.197700852970797-π/2
    0.395401705941595-1.57079632675     		φ = -1.17539462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72673506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.934631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17539462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.345151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101557 KachelY 99077 1.72673506 -1.17539462 98.934631 -67.345151
    Oben rechts KachelX + 1 101558 KachelY 99077 1.72678300 -1.17539462 98.937378 -67.345151
    Unten links KachelX 101557 KachelY + 1 99078 1.72673506 -1.17541308 98.934631 -67.346209
    Unten rechts KachelX + 1 101558 KachelY + 1 99078 1.72678300 -1.17541308 98.937378 -67.346209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17539462--1.17541308) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dl = 117.608659999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17539462--1.17541308) × R
    1.84599999999424e-05 × 6371000     		dr = 117.608659999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72673506-1.72678300) × cos(-1.17539462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.385178931741913 × 6371000     		do = 117.643560259606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72673506-1.72678300) × cos(-1.17541308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.38516189601463 × 6371000     		du = 117.638357109994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17539462)-sin(-1.17541308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385178931741913-0.38516189601463)×R²
    abs(1.72678300-1.72673506)×1.70357272835098e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70357272835098e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70357272835098e-05×40589641000000     		ar = 13835.5955122917m²