Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101553 / 96337
↖ ↑ ↗
← S 64.264877°
E 98.923645°		 ← 132.62 m → S 64.264877°
E 98.926392°		 →
↑
132.58 m
↓
↑
132.58 m
↓
S 64.266069°
E 98.923645°		 ← 132.61 m →
17 582 m²		 S 64.266069°
E 98.926392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774791717529297 y=0.734996795654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774791717529297 × 217)
    floor (0.774791717529297 × 131072)
    floor (101553.5)     		tx = 101553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734996795654297 × 217)
    floor (0.734996795654297 × 131072)
    floor (96337.5)     		ty = 96337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101553 / 96337 ti = "17/101553/96337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101553/96337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101553 ÷ 217
    101553 ÷ 131072     		x = 0.774787902832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96337 ÷ 217
    96337 ÷ 131072     		y = 0.734992980957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774787902832031 × 2 - 1) × π
    0.549575805664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.72654331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734992980957031 × 2 - 1) × π
    -0.469985961914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.47650444519735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72654331} λ = 1.72654331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47650444519735))-π/2
    2×atan(0.228434800762055)-π/2
    2×0.224581320444916-π/2
    0.449162640889831-1.57079632675     		φ = -1.12163369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72654331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.923645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12163369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.264877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101553 KachelY 96337 1.72654331 -1.12163369 98.923645 -64.264877
    Oben rechts KachelX + 1 101554 KachelY 96337 1.72659125 -1.12163369 98.926392 -64.264877
    Unten links KachelX 101553 KachelY + 1 96338 1.72654331 -1.12165450 98.923645 -64.266069
    Unten rechts KachelX + 1 101554 KachelY + 1 96338 1.72659125 -1.12165450 98.926392 -64.266069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12163369--1.12165450) × R
    2.08100000000933e-05 × 6371000     		dl = 132.580510000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12163369--1.12165450) × R
    2.08100000000933e-05 × 6371000     		dr = 132.580510000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72654331-1.72659125) × cos(-1.12163369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434211380433758 × 6371000     		do = 132.619332185315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72654331-1.72659125) × cos(-1.12165450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434192634462606 × 6371000     		du = 132.613606683204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12163369)-sin(-1.12165450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434211380433758-0.434192634462606)×R²
    abs(1.72659125-1.72654331)×1.87459711515348e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87459711515348e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87459711515348e-05×40589641000000     		ar = 17582.3591526026m²