Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101548 / 98332
↖ ↑ ↗
← S 66.543891°
E 98.909912°		 ← 121.57 m → S 66.543891°
E 98.912659°		 →
↑
121.56 m
↓
↑
121.56 m
↓
S 66.544984°
E 98.909912°		 ← 121.57 m →
14 778 m²		 S 66.544984°
E 98.912659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774753570556641 y=0.750217437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774753570556641 × 217)
    floor (0.774753570556641 × 131072)
    floor (101548.5)     		tx = 101548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750217437744141 × 217)
    floor (0.750217437744141 × 131072)
    floor (98332.5)     		ty = 98332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101548 / 98332 ti = "17/101548/98332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101548/98332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101548 ÷ 217
    101548 ÷ 131072     		x = 0.774749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98332 ÷ 217
    98332 ÷ 131072     		y = 0.750213623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774749755859375 × 2 - 1) × π
    0.54949951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.72630363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750213623046875 × 2 - 1) × π
    -0.50042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.57213855993936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72630363} λ = 1.72630363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57213855993936))-π/2
    2×atan(0.207600740666438)-π/2
    2×0.204693167825644-π/2
    0.409386335651288-1.57079632675     		φ = -1.16140999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72630363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.909912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16140999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.543891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101548 KachelY 98332 1.72630363 -1.16140999 98.909912 -66.543891
    Oben rechts KachelX + 1 101549 KachelY 98332 1.72635157 -1.16140999 98.912659 -66.543891
    Unten links KachelX 101548 KachelY + 1 98333 1.72630363 -1.16142907 98.909912 -66.544984
    Unten rechts KachelX + 1 101549 KachelY + 1 98333 1.72635157 -1.16142907 98.912659 -66.544984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16140999--1.16142907) × R
    1.90800000001712e-05 × 6371000     		dl = 121.558680001091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16140999--1.16142907) × R
    1.90800000001712e-05 × 6371000     		dr = 121.558680001091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72630363-1.72635157) × cos(-1.16140999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398046449661498 × 6371000     		do = 121.573631442156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72630363-1.72635157) × cos(-1.16142907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.398028946259846 × 6371000     		du = 121.568285452754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16140999)-sin(-1.16142907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398046449661498-0.398028946259846)×R²
    abs(1.72635157-1.72630363)×1.75034016515752e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75034016515752e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75034016515752e-05×40589641000000     		ar = 14778.005235707m²