Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101545 / 96422
↖ ↑ ↗
← S 64.366062°
E 98.901672°		 ← 132.13 m → S 64.366062°
E 98.904419°		 →
↑
132.07 m
↓
↑
132.07 m
↓
S 64.367249°
E 98.901672°		 ← 132.13 m →
17 451 m²		 S 64.367249°
E 98.904419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774730682373047 y=0.735645294189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774730682373047 × 217)
    floor (0.774730682373047 × 131072)
    floor (101545.5)     		tx = 101545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735645294189453 × 217)
    floor (0.735645294189453 × 131072)
    floor (96422.5)     		ty = 96422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101545 / 96422 ti = "17/101545/96422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101545/96422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101545 ÷ 217
    101545 ÷ 131072     		x = 0.774726867675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96422 ÷ 217
    96422 ÷ 131072     		y = 0.735641479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774726867675781 × 2 - 1) × π
    0.549453735351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.72615982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735641479492188 × 2 - 1) × π
    -0.471282958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48057908166505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72615982} λ = 1.72615982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48057908166505))-π/2
    2×atan(0.227505905732336)-π/2
    2×0.223698315650861-π/2
    0.447396631301721-1.57079632675     		φ = -1.12339970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72615982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.901672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12339970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.366062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101545 KachelY 96422 1.72615982 -1.12339970 98.901672 -64.366062
    Oben rechts KachelX + 1 101546 KachelY 96422 1.72620776 -1.12339970 98.904419 -64.366062
    Unten links KachelX 101545 KachelY + 1 96423 1.72615982 -1.12342043 98.901672 -64.367249
    Unten rechts KachelX + 1 101546 KachelY + 1 96423 1.72620776 -1.12342043 98.904419 -64.367249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12339970--1.12342043) × R
    2.07299999999133e-05 × 6371000     		dl = 132.070829999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12339970--1.12342043) × R
    2.07299999999133e-05 × 6371000     		dr = 132.070829999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72615982-1.72620776) × cos(-1.12339970) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.432619862900401 × 6371000     		do = 132.133241765579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72615982-1.72620776) × cos(-1.12342043) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.432601173128109 × 6371000     		du = 132.127533428046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12339970)-sin(-1.12342043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432619862900401-0.432601173128109)×R²
    abs(1.72620776-1.72615982)×1.86897722915247e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.86897722915247e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.86897722915247e-05×40589641000000     		ar = 17450.5699585861m²