Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101544 / 96409
↖ ↑ ↗
← S 64.350610°
E 98.898926°		 ← 132.21 m → S 64.350610°
E 98.901672°		 →
↑
132.20 m
↓
↑
132.20 m
↓
S 64.351799°
E 98.898926°		 ← 132.20 m →
17 477 m²		 S 64.351799°
E 98.901672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774723052978516 y=0.735546112060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774723052978516 × 217)
    floor (0.774723052978516 × 131072)
    floor (101544.5)     		tx = 101544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735546112060547 × 217)
    floor (0.735546112060547 × 131072)
    floor (96409.5)     		ty = 96409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101544 / 96409 ti = "17/101544/96409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101544/96409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101544 ÷ 217
    101544 ÷ 131072     		x = 0.77471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96409 ÷ 217
    96409 ÷ 131072     		y = 0.735542297363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77471923828125 × 2 - 1) × π
    0.5494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72611188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735542297363281 × 2 - 1) × π
    -0.471084594726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.47995590196999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72611188} λ = 1.72611188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47995590196999))-π/2
    2×atan(0.227647726978765)-π/2
    2×0.223833153482987-π/2
    0.447666306965975-1.57079632675     		φ = -1.12313002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72611188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.898926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12313002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.350610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101544 KachelY 96409 1.72611188 -1.12313002 98.898926 -64.350610
    Oben rechts KachelX + 1 101545 KachelY 96409 1.72615982 -1.12313002 98.901672 -64.350610
    Unten links KachelX 101544 KachelY + 1 96410 1.72611188 -1.12315077 98.898926 -64.351799
    Unten rechts KachelX + 1 101545 KachelY + 1 96410 1.72615982 -1.12315077 98.901672 -64.351799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12313002--1.12315077) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dl = 132.198250000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12313002--1.12315077) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dr = 132.198250000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72611188-1.72615982) × cos(-1.12313002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432862984296724 × 6371000     		do = 132.207497297349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72611188-1.72615982) × cos(-1.12315077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432844278914233 × 6371000     		du = 132.201784192059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12313002)-sin(-1.12315077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432862984296724-0.432844278914233)×R²
    abs(1.72615982-1.72611188)×1.87053824915462e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87053824915462e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87053824915462e-05×40589641000000     		ar = 17477.2221489372m²