Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101543 / 98341
↖ ↑ ↗
← S 66.553728°
E 98.896179°		 ← 121.53 m → S 66.553728°
E 98.898926°		 →
↑
121.49 m
↓
↑
121.49 m
↓
S 66.554821°
E 98.896179°		 ← 121.52 m →
14 764 m²		 S 66.554821°
E 98.898926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.774715423583984 y=0.750286102294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.774715423583984 × 217)
    floor (0.774715423583984 × 131072)
    floor (101543.5)     		tx = 101543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750286102294922 × 217)
    floor (0.750286102294922 × 131072)
    floor (98341.5)     		ty = 98341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101543 / 98341 ti = "17/101543/98341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101543/98341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101543 ÷ 217
    101543 ÷ 131072     		x = 0.774711608886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98341 ÷ 217
    98341 ÷ 131072     		y = 0.750282287597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774711608886719 × 2 - 1) × π
    0.549423217773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.72606394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750282287597656 × 2 - 1) × π
    -0.500564575195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.57256999203594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72606394} λ = 1.72606394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57256999203594))-π/2
    2×atan(0.207511194361604)-π/2
    2×0.204607319808755-π/2
    0.40921463961751-1.57079632675     		φ = -1.16158169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72606394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.896179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16158169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.553728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101543 KachelY 98341 1.72606394 -1.16158169 98.896179 -66.553728
    Oben rechts KachelX + 1 101544 KachelY 98341 1.72611188 -1.16158169 98.898926 -66.553728
    Unten links KachelX 101543 KachelY + 1 98342 1.72606394 -1.16160076 98.896179 -66.554821
    Unten rechts KachelX + 1 101544 KachelY + 1 98342 1.72611188 -1.16160076 98.898926 -66.554821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16158169--1.16160076) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dl = 121.494970000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16158169--1.16160076) × R
    1.90700000000099e-05 × 6371000     		dr = 121.494970000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72606394-1.72611188) × cos(-1.16158169) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397888932179406 × 6371000     		do = 121.525521548625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72606394-1.72611188) × cos(-1.16160076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.397871436648438 × 6371000     		du = 121.520177963133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16158169)-sin(-1.16160076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397888932179406-0.397871436648438)×R²
    abs(1.72611188-1.72606394)×1.74955309674152e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74955309674152e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74955309674152e-05×40589641000000     		ar = 14764.4149860329m²